问答题
已知齐次线性方程组
【正确答案】
【答案解析】[解法一] 因为方程组(Ⅰ)、(Ⅱ)有非零公共解，即把(Ⅰ)、(Ⅱ)联立所得方程组(Ⅲ)有非零解，对系数矩阵作初等行变换，有
方程组(Ⅲ)有非零解
a=-1．
求出η=(2，6，2，1) T 是(Ⅲ)的基础解系，所以(Ⅰ)与(Ⅱ)的所有公共解是kη．
[解法二] 对(Ⅰ)的系数矩阵作初等行变换，得
所以方程组(Ⅰ)的基础解系是η 1 =(-1，2，1，0) T ，η 2 =(4，2，0，1) T ．
那么，(Ⅰ)的通解是k 1 η 1 +k 2 η 2 =(-k 1 +4k 2 ，2k 1 +2k 2 ，k 1 ，k 2 ) T ．将其代入(Ⅱ)，有
整理为
因为(Ⅰ)，(Ⅱ)有非零公共解，故k 1 ，k 2 必不全为0．
因此
方程组(Ⅲ)有非零解
a=-1．
求出η=(2，6，2，1) T 是(Ⅲ)的基础解系，所以(Ⅰ)与(Ⅱ)的所有公共解是kη．
[解法二] 对(Ⅰ)的系数矩阵作初等行变换，得
所以方程组(Ⅰ)的基础解系是η 1 =(-1，2，1，0) T ，η 2 =(4，2，0，1) T ．
那么，(Ⅰ)的通解是k 1 η 1 +k 2 η 2 =(-k 1 +4k 2 ，2k 1 +2k 2 ，k 1 ，k 2 ) T ．将其代入(Ⅱ)，有
整理为
因为(Ⅰ)，(Ⅱ)有非零公共解，故k 1 ，k 2 必不全为0．
因此