解答题
设总体X的分布
其中0＜θ＜1，X1，X2，…，X3为来自总体的简单随机样本．
| X | 1 | 2 | 3 | |||||||||||||||||||||
| p | θ2 | 2θ(1-θ) | (1-θ)2 | |||||||||||||||||||||
问答题
求参数θ的极大似然估计
【正确答案】
【答案解析】[解] 求参数θ的极大似然估计
，总体分布可表示为
P(X=k)=C(k)(1-θ)k-1θ3-k，k=1，2，3．
其中C(1)=1，C(2)=2，C(3)=1．
似然函数
，
即
，其中
．
解方程得
，θ的最大似然估计
，总体分布可表示为P(X=k)=C(k)(1-θ)k-1θ3-k，k=1，2，3．
其中C(1)=1，C(2)=2，C(3)=1．
似然函数
，即
，其中．解方程得
，θ的最大似然估计
问答题
判断
【正确答案】
【答案解析】[解] 判断
的无偏性和一致性．
的无偏性：
又
E(X)=1·θ2+2·2θ(1-θ)+3·(1-θ)2=3-2θ，
则
是θ的无偏估计．
的一致性：因为
，则
D(X)=E(X2)-(EX)2=1·θ2+4·2θ(1-θ)+9·(1-θ)2-(3-2θ)2=3-2θ
=1·θ2+4·2θ(1-θ)+9·(1-θ)2-(3-2θ)2=2θ(1-θ)，
由切比雪夫不等式，
对有
即
，
的无偏性和一致性．的无偏性：又
E(X)=1·θ2+2·2θ(1-θ)+3·(1-θ)2=3-2θ，
则
是θ的无偏估计．的一致性：因为，则D(X)=E(X2)-(EX)2=1·θ2+4·2θ(1-θ)+9·(1-θ)2-(3-2θ)2=3-2θ
=1·θ2+4·2θ(1-θ)+9·(1-θ)2-(3-2θ)2=2θ(1-θ)，
由切比雪夫不等式，
对有即
，