问答题设α，β是3维单位正交列向量，令A=αβ^T+βα^T，证明：

问答题 |A|=0；

【正确答案】A是3×3矩阵，r(A)=r(αβ^T+βα^T)≤r(αβ^T)+r(βα^T)≤r(α)+r(β)≤2＜3，故A不满秩，即|A|=0．

【答案解析】

问答题 α+β，α-β是A的特征向量；

【正确答案】α，β是3维单位正交向量，故有α^Tα=β^Tβ=1，α^Tβ=β^Tα=0，且α，β线性无关，α+β≠0，故
A(α+β)=(αβ^T+βα^T)(α+β)=αβ^Tα+αβ^Tβ+βα^Tα+βα^Tβ
=α·0+α·1+β·1+β·0=α+β，
因此，α+β是A属于特征值λ=1的特征向量．
同理 A(α-β)=(αβ^T+βα^T)(α-β)=αβ^Tα-αβ^Tβ+βα^Tα-βα^Tβ
=α·0-α·1+β·1-β·0=-(α-β)，
故α-β是A属于特征值λ=-1的特征向量．

【答案解析】

问答题 A相似于对角阵，并写出该对角阵．

【正确答案】，|A|=0，故A有特征值λ=0，从而A有3个不同的特征值，故A～A，其中
[*]

【答案解析】