问答题
设有一小山，取它的底面所在的平面为xOy坐标面，其底部所占的区域为D={(x，y)|x
2
+y
2
-xy≤75}，小山的高度函数为h(x，y)=75-x
2
-y
2
+xy．
问答题
设M(x
0
，y
0
)为区域D上一点，问h(x，y)在该点沿平面上什么方向的方向导数最大?若记此方向导数的最大值为g(x
0
，y
0
)，试写出g(x
0
，y
0
)的表达式．
【正确答案】
【答案解析】[解]由梯度的几何意义知，h(x，y)在点M(x
0
，y
0
)处沿梯度gradh(x，y)|
(x0，y0)
=(y
0
-2x
0
)i+(x
0
-2y
0
)j方向的方向导数最大，方向导数的最大值为该梯度的模，所以
问答题
现欲利用此小山开展攀岩活动，为此需要在山脚寻找一上山坡度最大的点作为攀登的起点，也就是说，要在D的边界线x
2
+y
2
-xy=75上找出使(1)中的g(x，y)达到最大值的点，试确定攀登起点的位置．
【正确答案】
【答案解析】[解]令f(x，y)=g
2
(x，y)=5x
2
+5y
2
-8xy，
由题意，只需求f(x，y)在约束条件75-x 2 -y 2 +xy=0下的最大值点．
令L(x，y)=5x 2 +5y 2 -8xy+λ(75-x 2 -y 2 +xy)，则
由式①和式②消去λ，得y=±x，代入式③，得
于是得到4个可能的极值点：M 1 (5，-5)，M 2 (-5，5)，
由题意，只需求f(x，y)在约束条件75-x 2 -y 2 +xy=0下的最大值点．
令L(x，y)=5x 2 +5y 2 -8xy+λ(75-x 2 -y 2 +xy)，则
由式①和式②消去λ，得y=±x，代入式③，得
于是得到4个可能的极值点：M 1 (5，-5)，M 2 (-5，5)，