问答题
设函数f(x)在[0，π]上连续，且
【正确答案】本题可采用以下两种方法证明：
[证法1] 引入辅助函数
则F(0)=0．F(π)=0．又由
因此必存在一点ξ∈(0，π)，使得F(ξ)sinξ=0，否则F(x)sinx在(0，π)内恒正(或负)，均与
矛盾．
当ξ∈(0，π)时，sinξ≠0，因此F(ξ)=0．综上知
F(0)=F(ξ)=F(π)=0，0＜ξ＜π．
在区间[0，ξ]，[ξ，π]上分别用罗尔定理，则至少存在两点ξ1∈(0，ξ)，ξ2∈(ξ，π)，使得
F'(ξ1)=F'(ξ2)=0，即 f(ξ1)=f(ξ2)=0．
[证法2] 由已知
，知存在ξ1∈(0，π)，使f(ξ1)=0．否则f(x)在(0，π)内恒正(或负)。均与
矛盾．若在(0，π)内f(x)仅有一个零点ξ1，则由
可知f(x)在(0，ξ1)与(ξ1，π)内反号．不妨设在(0，ξ1)内f(x)＞0，在(ξ1，π)内f(x)＜0，因此由
及cosx在[0，π]上的单调性知
[证法1] 引入辅助函数
则F(0)=0．F(π)=0．又由
因此必存在一点ξ∈(0，π)，使得F(ξ)sinξ=0，否则F(x)sinx在(0，π)内恒正(或负)，均与
矛盾．当ξ∈(0，π)时，sinξ≠0，因此F(ξ)=0．综上知
F(0)=F(ξ)=F(π)=0，0＜ξ＜π．
在区间[0，ξ]，[ξ，π]上分别用罗尔定理，则至少存在两点ξ1∈(0，ξ)，ξ2∈(ξ，π)，使得
F'(ξ1)=F'(ξ2)=0，即 f(ξ1)=f(ξ2)=0．
[证法2] 由已知
，知存在ξ1∈(0，π)，使f(ξ1)=0．否则f(x)在(0，π)内恒正(或负)。均与矛盾．若在(0，π)内f(x)仅有一个零点ξ1，则由可知f(x)在(0，ξ1)与(ξ1，π)内反号．不妨设在(0，ξ1)内f(x)＞0，在(ξ1，π)内f(x)＜0，因此由及cosx在[0，π]上的单调性知【答案解析】[考点提示] 函数零点、罗尔定理、定积分的性质．