解答题
6.设函数f(x)在[0，π]上连续，且∫0πf(x)dx=0，∫0πf(x)cosxdx=0，试证：在(0，π)内至少存在两个不同的点ξ1，ξ2，使f(ξ1)=f(ξ2)=0。
【正确答案】方法一：令F(x)=∫0xf(t)dt，0≤x≤π，有F(0)=0，由题设有F(π)=0。
又由题设∫0πf(x)cosxdx=0，用分部积分，有
0=∫0πf(x)cosxdx=∫0πcosxdF(x)
=F(x)cosx|0π+∫0πF(x)sinxdx=∫0πF(x)sinxdx，
由积分中值定理知，存在ξ∈(0，π)使
0=∫0πF(x)sinxdx=F(ξ)sinξ．(π－0)。
因为ξ∈(0，π)，sinξ≠0，所以推知存在ξ∈(0，π)，使得F(ξ)=0。再在区间[0，ξ]与[ξ，π]上对F(x)用罗尔定理，推知存在ξ1∈(0，ξ)，ξ2∈(ξ，π)使F'(ξ1)=0，F'(ξ2)=0，即f(ξ1)=0，f(ξ2)=0。
方法二：令F(x)=∫0xf(t)dt，0≤x≤π，由∫0πf(x)dx=0可知F(0)=F(π)=0，则由罗尔定理可得：存在ξ1∈(0，π)，使f(ξ1)=0。
若在区间(0，π)内f(x)仅有一个零点ξ1，则在区间(0，ξ1)与(ξ1，π)内f(x)异号。不妨设在(0，ξ1)内f(x)＞0，在(ξ1，π)内f(x)＜0。于是由∫0πf(x)dx=0，∫0πf(x)cosxdx=0，有
0=∫0πf(x)cosxdx－∫0πf(x)cosξ1dx=∫0πf(x)(cosx－cosξ1)dx
又由题设∫0πf(x)cosxdx=0，用分部积分，有
0=∫0πf(x)cosxdx=∫0πcosxdF(x)
=F(x)cosx|0π+∫0πF(x)sinxdx=∫0πF(x)sinxdx，
由积分中值定理知，存在ξ∈(0，π)使
0=∫0πF(x)sinxdx=F(ξ)sinξ．(π－0)。
因为ξ∈(0，π)，sinξ≠0，所以推知存在ξ∈(0，π)，使得F(ξ)=0。再在区间[0，ξ]与[ξ，π]上对F(x)用罗尔定理，推知存在ξ1∈(0，ξ)，ξ2∈(ξ，π)使F'(ξ1)=0，F'(ξ2)=0，即f(ξ1)=0，f(ξ2)=0。
方法二：令F(x)=∫0xf(t)dt，0≤x≤π，由∫0πf(x)dx=0可知F(0)=F(π)=0，则由罗尔定理可得：存在ξ1∈(0，π)，使f(ξ1)=0。
若在区间(0，π)内f(x)仅有一个零点ξ1，则在区间(0，ξ1)与(ξ1，π)内f(x)异号。不妨设在(0，ξ1)内f(x)＞0，在(ξ1，π)内f(x)＜0。于是由∫0πf(x)dx=0，∫0πf(x)cosxdx=0，有
0=∫0πf(x)cosxdx－∫0πf(x)cosξ1dx=∫0πf(x)(cosx－cosξ1)dx
【答案解析】