单选题
设A为3阶矩阵，P为3阶可逆矩阵，且
若P=(α
1
，α
2
，α
3
)，Q=(α
1
+α
2
，α
2
，α
3
)，则Q
-1
AQ=
A．
B．
C．
D．
若P=(α
1
，α
2
，α
3
)，Q=(α
1
+α
2
，α
2
，α
3
)，则Q
-1
AQ=
A．
B．
C．
D．
【正确答案】
B
【答案解析】[解析] 解法1 由题设
知，矩阵A是可相似对角化的矩阵，因而其相似变换矩阵P的列向量α
1
，α
2
，α
3
是A的分别属于特征值λ
1
=1，λ
2
=1，λ
3
=2的特征向量．由于λ
1
=λ
2
=1是A的2重特征值，所以α
1
+α
2
仍是A的属于特征值l的特征向量，即A(α
1
+α
2
)=1·(α
1
+α
2
)，从而有
应选B．
解法2 因为矩阵Q是对矩阵P作一次初等列变换——将P的第2列加到第1列上而得到的，所以有
从而有
知，矩阵A是可相似对角化的矩阵，因而其相似变换矩阵P的列向量α
1
，α
2
，α
3
是A的分别属于特征值λ
1
=1，λ
2
=1，λ
3
=2的特征向量．由于λ
1
=λ
2
=1是A的2重特征值，所以α
1
+α
2
仍是A的属于特征值l的特征向量，即A(α
1
+α
2
)=1·(α
1
+α
2
)，从而有
应选B．
解法2 因为矩阵Q是对矩阵P作一次初等列变换——将P的第2列加到第1列上而得到的，所以有
从而有