选择题
11.[2005年] 设函数f(x)=
【正确答案】
C
【答案解析】先去绝对值求出f(x)的表达式，再根据具体表达式讨论其可导性．因只判断导数是否存在，也可借助函数的图形求解．
解一 当∣x∣＜1时，f(x)=
=1．
当∣x∣=1时，f(x)=
=1．
当∣x∣＞1时f(x)=
=∣x∣3，
故 f(x)=
即 f(x)=
①
显然当∣x∣＜1及∣x∣＞1时，f(x)均可导．在x=一1处，
f＇-(一1)=
一(x2一x+1)=一3，
f＇+(一1)=
=0．
因f＇-(一1)≠f＇+(一1)，由命题1．2．1．5(2)知，f(x)在x=一1处不可导．而在x=1处，
f＇+(1)=
(x2+x+1)=3，
f-(1)=
=0，
因f+(1)≠f-(1)，故f(x)在x=1处也不可导．除x=±1外，f(x)在(一∞，+∞)内处处可导．仅(C)入选．
解二 由解一中的式①易求出函数y=f(x)的图形如图1．2．2．1所示．由图1．2．2．1知f(x)在x=±1处不可导．事实上，x=±1为f(x)的图形上的尖点，其余各点f(x)均可导．
解一 当∣x∣＜1时，f(x)=
=1．当∣x∣=1时，f(x)=
=1．当∣x∣＞1时f(x)=
=∣x∣3，故 f(x)=
即 f(x)= ①显然当∣x∣＜1及∣x∣＞1时，f(x)均可导．在x=一1处，
f＇-(一1)=
一(x2一x+1)=一3，f＇+(一1)=
=0．因f＇-(一1)≠f＇+(一1)，由命题1．2．1．5(2)知，f(x)在x=一1处不可导．而在x=1处，
f＇+(1)=
(x2+x+1)=3，f-(1)=
=0，因f+(1)≠f-(1)，故f(x)在x=1处也不可导．除x=±1外，f(x)在(一∞，+∞)内处处可导．仅(C)入选．
解二 由解一中的式①易求出函数y=f(x)的图形如图1．2．2．1所示．由图1．2．2．1知f(x)在x=±1处不可导．事实上，x=±1为f(x)的图形上的尖点，其余各点f(x)均可导．