解答题
13.设f(x)在[1，+∞)内可导，f'(x)<0且
=a>0，令an=
∫1nf(x)dx．证明：{an}收敛且0≤
=a>0，令an=∫1nf(x)dx．证明：{an}收敛且0≤
【正确答案】因为f'(x)<0，所以f(x)单调减少．
又因为an+1-an=f(n+1)-∫nn+1f(x)dx=f(n+1)-f(ξ)≤0(ξ∈[n，n+1])，
所以{an}单调减少．
因为an=
[f(k)-f(x)]dx+f(n)，而∫kk+1[f(k)-f(x)]dx≥0(k=1，2，…，n-1)
且
，所以存在X>0，当x>X时，f(x)>0．
由f(x)单调递减得f(x)>0(x∈[1，+∞))，故an≥f(n)>0，所以
存在．
又因为an+1-an=f(n+1)-∫nn+1f(x)dx=f(n+1)-f(ξ)≤0(ξ∈[n，n+1])，
所以{an}单调减少．
因为an=
[f(k)-f(x)]dx+f(n)，而∫kk+1[f(k)-f(x)]dx≥0(k=1，2，…，n-1)且
，所以存在X>0，当x>X时，f(x)>0．由f(x)单调递减得f(x)>0(x∈[1，+∞))，故an≥f(n)>0，所以
存在．【答案解析】