1问答题若对赋范空间X中每个非零x，存在X中唯一的f使得 f(x)=‖x‖， ‖f‖=1， (1) 则称X是光滑的。证明： (a)若X是光滑的，Y是X的子空间，则Y是光滑的。 (b)若X是严格凸的，则X是光滑的。
2问答题设X为Banach空间，Y为赋范空间，F：X→Y为线性算子。假设任取{xn}为X中序列使得xn→0且{F(xn)}为柯西列，则在Y中必有F(xn)→0。求证：F∈BL(X，Y)
3问答题设H为Hilbert空间，A∈BL(H)。求证： (a)A为紧算子当且仅当A*A为紧算子。 (b)若A为紧的，则A*为紧的。
4问答题设X=C1[a，b]，即为[a，b]上所有连续可微函数空间。对x∈Y，令 ‖x‖=‖x‖∞+‖x‖∞ ‖x‖1=|x(a)|+‖x‖∞， 其中x是x导数。证明X赋有上面任一个范数都是Banach空间。再证明对X中所有x， ‖x‖1≤‖x‖≤(b-a+1)‖x‖1， 且常数b=a+1是最佳的。
5问答题设X和Y都是Banach空间。证明乘积空间X×Y，赋有范数 ‖(x，y)‖=‖x‖+‖y‖， (x，y)∈X×Y， 是Banach空间。
6问答题设X在两个范数‖·‖1和‖·‖2下均为Banach空间。证明若存在α＞0使得对每个x∈X有|x‖1≤α‖x‖2，则存在β＞0使得对每个x∈x有‖x‖2≤β‖x‖1，即‖·‖1和‖·‖2等价。
7问答题设x是赋范空间X≠{0}的任一个元，证明 ‖x‖=sup{|f(x)|:f∈X，‖f‖=1} 由此推出若对所有X中的f有f(x)=0，则x=0
8问答题设X和Y是赋范空间，x≠{0}。证明若BL(X，Y)是Banach空间，则Y是Banach空间。
9问答题设X是赋范空间，x，Y∈X，‖x‖=‖y‖=1，x≠Y。证明：若X是严格凸的，则对0＜t＜1， ‖tx+(1-t)y‖＜1 (5) 再证明若任取x，y∈X，‖x‖=‖y‖=1，且x≠y时，都存在0＜t＜1，使得(5)式成立，则X是严格凸的。
10问答题设X是赋范空间。若xn∈X且∑‖xn‖＜∞，则称级数∑xn是绝对收敛的。证明若X是Banach空间，则每个绝对收敛的级数都在X中收敛。
11问答题设H为Hilbert空间，S，T∈BL(H)。若T为紧的且 (i)S*S≤T*T 或 (ii)SS*≤TT*， 求证：S为紧算子。
12问答题设E为Hilbert空间H的非空闭凸子集且x∈H。求证y∈E为x在E上的最佳逼近元当且仅当任取z∈E有 Re＜x-y，z＞≤Re＜x-y，y＞。
13问答题设H为Hilbert空间，T∈BL(H)。若T为非零且为自伴的。求证：Tn为非零自伴的。
14问答题证明C00和一元多项式组成的线性空间在任意范数下都不是Banach空间。
15问答题设Y为Hilbert空间H的闭子空间。求证X/Y线性等距同构于Y⊥
16问答题设X，Y，Z是Banach空间，G∈BL(X，Z)和H∈BL(Y，Z)。设对X中的每个x，方程G(x)=H(y)在Y中有唯一解y。证明由此定义的映射F：X→Y，F(x)=y，在BL(X，Y)中。
17问答题设A为Hilbert空间H上的自伴算子。求证：任取z∈H有＜Ax,x＞=0当且仅当A=0
18问答题设X，Y，Z为赋范空间，F∈BL(X，Y)，G∈BL(Y，Z)。求证：(G·F)=F·G
19问答题设X和Y是Banach空间，F：X→Y是单的有界线性映射。证明F的值域R(F)在Y中是闭的当且仅当F-1：R(F)→X是有界的。
20问答题若p≠2，求证：lp上通常的范数不能由lp上某个内积导出。