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理学数学
1设A=则B=()
2设α1，α2，β1，β2为三维列向量组，且α1，α2与β1，β2都线性无关．(1)证明：至少存在一个非零向量可同时由α1，α2和β1，β2线性表不；(2)设α1=，α2=，β1=，β2=，求出可由两组向量同时线性表示的向量．
3填空题设一个齐次线性方程组的基础解系数为，则此齐次线性方程组为______．
4，求极大线性无关组，并把其余向量用极大线性无关组线性表出．
5单选题设α1，α2是n维向量，令β1=α1+2α2，β2=-α1+α2，β3=5α1+2α2，则下列结论正确的是
6结构推理设n阶方阵A的秩为1.证明：A的伴随矩阵A*相似于对角矩阵的充要条件是A11+A22+…+Ann≠0，其中Aii为det(A)的(i，i)元素的代数余子式(i=1，2，…，n).
7设A，B为同阶方阵。（Ⅰ）若A，B相似，证明A，B的特征多项式相等；（Ⅱ）举一个二阶方阵的例子说明（Ⅰ）的逆命题不成立；（Ⅲ）当A，B均为实对称矩阵时，证明（Ⅰ）的逆命题成立。
8填空题设A为四阶可逆方阵，将A第3列乘3倍再与第1列交换位置，得到矩阵B，则B
-1
A=______．
9问答题设A，B为同阶方阵，
10设A为三阶实对称矩阵，A的每行元素之和为5，AX=0有非零解且λ
1
=2是A的特征值，对应特征向量为(－1，0，1)
T
．
11填空题设α，β为三维非零列向量，(α，β)=3，A=αβ
T
，则A的特征值为_________．
12设X=(xij)3×3，问a、b、c各取何值时，矩阵方程AX=B有解?并在有解时，求出全部解．
13设A=，那么(P-1)2010A(Q2011)-1=()
14设A是三阶矩阵，α
1
，α
2
，α
3
为三个三维线性无关的列向量，且满足Aα
1
＝α
2
＋α
3
，Aα
2
＝α
1
＋α
3
，Aα
3
＝α
1
＋α
2
．
(1)求矩阵A的特征值；
(2)判断矩阵A可否对角化．
15问答题已知X=AX+B，其中求矩阵X．
16已知α
1
=（1，1，—1）
T
，α
2
=（1，2，0）
T
是齐次线性方程组Ax=0的基础解系，那么下列向量中Ax=0的解向量是（ ）
17设α
1
,α
2
，…，α
r
，和β
1
β
2
，…，β
s
是两个线性无关的n维向量．证明：向量组{α
1
,α
2
，…，α
r
；β
1
β
2
，…，β
s
}线性相关甘存在非零向量r，它既可用α
1
,α
2
，…，α
r
线性表示，又可用β
1
β
2
，…，β
s
线性表示．
18设N阶矩阵A=(α
1
，α
2
，…，α
n
)的前n一1个列向量线性相关，后n一1个列向量线性无关，且α
1
+α
2
+…+(n—1)α
n—1
=0，b=α
1
+α
2
+…+α
n
．
(1)证明方程组AX=b有无穷多个解；
(2)求方程组AX=b的通解．
19二次型f(χ
1
，χ
2
，χ
3
)＝aχ
1
2
＋aχ
2
2
＋(a－1)χ
3
2
＋2χ
1
χ
3
－2χ
2
χ
3
．
①求f(χ
1
，χ
2
，χ
3
)的矩阵的特征值．
②如果f(χ
1
，χ
2
，χ
3
)的规范形为y
1
2
＋y
2
2
，求a．
20填空题设A＝(a
ij
)是3阶正交矩阵，其中a
33
＝－1，b＝(0，0，5)
T
，则线性方程组Aχ＝b必有一个解是_______．