已选分类
理学
(1997年)设函数f(χ)在闭区间[0，1]上连续，在开区间(0，1)内大于零，并满足χf′(χ)＝f(χ)＋χ2(a为常数)，又曲线y＝f(χ)与χ＝1，y＝0所围的图形S的面积值为2．求函数f(χ)．并问a为何值时，图形S绕χ轴旋转一周所得旋转体的体积最小．
求微分方程的通解．
设y=y(x)在[0，+∞)内可导，且在x＞0处的增量△y=y(x+△x)－y(x)满足△y(1+△y)=+α，其中当△x→0时α是△x的等价无穷小，又y(0)=2，求y(x)．
(1998年)设y＝y(χ)是一向上凸的连续曲线，其上任一点(χ，y)处的曲率为，且此曲线上点(0，1)处的切线方程为y＝χ＋1，求该曲线方程．并求函数y＝y(χ)的极值．
设物体A从点(0，1)出发，以速度大小为常数v沿y轴正方向运动，物体B从点(－1，0)与A同时出发，其速度大小为2v，方向始终指向A，任意时刻B点的坐标(x，y)，试建立物体B的运动轨迹(y作为x的函数)所满足的微分方程，并写出初始条件．
设φ(x)是方程y"+y=0的满足条件y(0)=0，y’(0)=1的解，证明方程y”+y=f(x)满足条件y(0)=y’(0)=0的解为
y=∫
0
x
φ(t)f(x-t)dt．
设y=y(x)为微分方程2xydx+(x2一1)dy=0满足初始条件Y(0)=1的解，则为()．
求下列方程的通解：(Ⅰ)(x-2)dy=[y+2(x-2)2]dx；(Ⅱ)y2dx=(x+y2)dy；(Ⅲ)(3y-7x)dx+(7y-3x)dy=0．
(2000年)某湖泊的水量为V，每年排入湖泊内含污物A的污水量为，流入湖泊内不含A的水量为，流出湖泊的水量为．已知1999年底湖中A的含量为5m0，超过国家规定指标，为了治理污染，从2000年起，限定排入湖泊中含A污水的浓度不超过．问至多需经过多少年，湖泊中污染物A的含量降至m0以内?(注：设湖水中的浓度是均匀的)．
(2004年试题，二)设为正项级数．下列结论中正确的是()．
求极限
求微分方程χ
2
y′＋χy＝y
2
满足初始条件y(1)＝1的特解．
求微分方程y〞－y＝4cosχ＋e
χ
的通解．
B选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。/B
质量为1g的质点受外力作用作直线运动，外力和时间成正比，和质点的运动速度成反比，在t＝10s时，速度等于50cm／s．外力为39．2cm／s
2
，问运动开始1min后的速度是多少?
设函数f(x)连续，且．求f(x)．
设y=f(x)是第一象限内连接点A(0，1)，B(1，0)的一段连续曲线，M(x，y)为该曲线上任意一点，点C为M在x轴上的投影，O为坐标原点。若梯形OCMA的面积与曲边三角形CBM的面积之和为，求f(x)的表达式。
微分方程y"一y"一6y=(x+1)e
一2x
的特解形式为( )．
求(y
3
－3xy
2
－3x
2
y)dx+(3xy
2
－3x
2
y－x
3
+y
2
)dy=0的通解．
微分方程yˊˊ+2yˊ+2y=e
－x
sinx的特解形式为 ( )