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理学
(2003年试题，七)设函数y=y(x)在(一∞，+∞)内具有二阶导数，且y
"
≠0，x=x(y)是y=y(x)的反函数．
求微分方程yy〞＋(y′)2＝0的满足初始条件y(0)＝1，y′(0)＝的特解．
微分方程y"一4y=x+2的通解为()．
求微分方程y〞＋4y′＋4y＝e
aχ
的通解．
设y＝y(χ)在[0，＋∞)内可导，且在χ＞0处的增量△y＝y(χ＋△χ)－y(χ)满足△y(1＋△y)＝＋α，其中当△χ→0时α是△χ的等价无穷小，又y(0)＝2，求y(χ)．
求微分方程满足条件y｜x=e=2e的特解．
求解yˊˊ=e
2y
+e
y
，且y(0)=0，yˊ(0)=2．
求方程的通解．
求微分方程y
""
+2y
"
+y=xe
x
的通解．
B解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。/B
设f(x)在x＞0上有定义，对任意的正实数x，y，f(xy)=xf(y)+yf(x)．f"(1)=2，试求f(x)．
设函数f(χ)(χ≥0)可微，且f(χ)＞0．将曲线y＝f(χ)，χ＝1，χ＝a(a＞1)及χ轴所围成平面图形绕χ轴旋转一周得旋转体体积为[a2f(a)－f(1)]．若f(1)＝，求：(1)f(χ)；(2)f(χ)的极值．
设f(x)在[a，b]三次可微，证明：∈(a，b)，使得f(b)=f(a)+(b-a)2f'''(ξ)．
设y(x)是方程y
(4)
-y""=0的解，且当x→0时，y(x)是x的3阶无穷小，求y(x)．
求微分方程y
2
dχ＋(2χy＋y
2
)dy＝0的通解．
求下列方程的通解：(Ⅰ)y''3y'=2-6x；(Ⅱ)y''+y=ccosxcos2x．
(2010年试题，15)求微分方程y
""
一3y
"
+2y=2xe
x
的通解．
求微分方程(y＋)dχ－χdy＝0的满足初始条件y(1)＝0的解．
设曲线L位于Oxy平面的第一象限内，过L上任意一点M处的切线与y轴总相交，把交点记作A，则总有长度，求L的方程．
设线性无关的函数y
1
，y
2
，y
3
都是二阶非齐次线性方程y
''
+p(x)y
'
+q(x)y=f(x)的解，C
1
，C
2
是任意常数，则该非齐次方程的通解是( )