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理学数学
设函数y(x)(x≥0)二阶可导，且y'(x)＞0，y(0)=1。过曲线y=y(x)上任一点P(x，y)作该曲线的切线及x轴的垂线，上述两直线与x轴所围成的三角形面积记为S
1
，区间[0，x]上以y=y(x)为曲边的曲边梯形面积记为S
2
，且2S
1
一S
2
=1，求此曲线y=y(x)的方程。
假设：
①函数y=f(x)(0≤x≤+∞)满足条件f(0)=0和0≤f(x)≤e
x
一1；
②平行于y轴的动直线MN与曲线y=f(x)和y=e
x
一1分别相交于点P
1
和P
2
；
③曲线y=f(x)，直线MN与x轴所围成的封闭图形的面积S恒等于线段P
1
P
2
的长度。求函数y=f(x)的表达式。
设函数f(x)在[0，+∞)上可导,f(0)=1，且满足等式
已知微分方程y′＋y＝f(χ)，其中f(χ)＝，求该微分方程的解y＝y(χ)满足y(0)＝0．
(1988年)设函数y＝y(χ)满足微分方程y〞－3y′＋2y＝2e
χ
，其图形在点(0，1)处的切线与曲线y＝χ
2
－χ＋1在该点处的切线重合，求函数y的解析表达式．
求证：曲率半径为常数口的曲线是圆．
设f(χ)为偶函数，且满足f′(χ)＋2f(χ)＝3∫
0
χ
f(t－χ)dt＝－3χ＋2，求f(χ)．
求微分方程yy"=y
′2
满足初始条件y(0)=y′(0)=1的特解．
(2003年试题，四)将函数展开成x的幂级数，并求级数的和．
B选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。/B
求分别满足下列关系式的f(x)．
1)f(x)=∫
0
x
f(t)dt，其中f(x)为连续函数；
2)f’(x)+xf’(一x)=x
方程x
x
y"+2xy"一2y=0的通解为( )
设a，b，c为待定常数，则微分方程y"一3y'+2y=3x一2e
x
的特解形式为( )
用泰勒公式确定下列无穷小量当x→0时关于x的无穷小阶数：(Ⅰ)(Ⅱ)∫0x(et-1-t)2dt．
求y"
2
-yy"=1的通解．
求微分方程
(2012年试题，三)求幂级数的收敛域及和函数．
设函数f(x)二阶连续可导，f(0)=1且有f"(x)+求f(x)．
(2003年试题，七)设函数y=y(x)在(一∞，+∞)内具有二阶导数，且y
"
≠0，x=x(y)是y=y(x)的反函数．
求微分方程y〞＋4y′＋4y＝e
aχ
的通解．