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理学数学
求微分方程y—y'cosx=y
2
(1一sinx)cosx的通解。
求微分方程xy′+(1一x)y=e2x(x＞0)满足的特解．
设y=y(x)是一向上凸的连续曲线，其上任意一点(x，y)处的曲率为，且此曲线上点(0，1)处的切线方程为y=x+1，求该曲线方程。
设线性无关的函数y
1
．y
2
，y
3
都是二阶非齐次线性微分方程y”+py’+qy=f(x)的解，C
1
、C
2
是任意常数，则该非齐次方程的通解是
设f(x)在(0，+∞)二阶可导且f(x)，f''(x)在(0，+∞)上有界，求证：f'(x)在(0，+∞)上有界.
求一个以y
1
=te"，y
2
=sin2t为其两个特解的四阶常系数齐次线性微分方程，并求其通解．
设当u＞0时f(u)一阶连续可导，且f(1)=0，又二元函数z=f(ex-ey)满足=1，求f(u)．
设f(x)在[0，1]上连续且满足f(0)=1，f"(x)-f(x)=a(x-1)．y-f(x)，=0，x=1，y=0围成的平面区域绕z轴旋转一周所得的旋转体体积最小，求f(x)．
利用变换y=f(e
x
)求微分方程yˊˊ－(2e
x
+1)yˊ+e
2x
y=e
3x
的通解．
设函数f(x)连续，且满足求f(x)．
求下列微分方程满足初始条件的特解：(1)(y+x3)dx一2xdy=0，且(2)x2y’+xy=y2，且y|x=1=1；(3)xy’+(1一x)y=e2x(x＞0)，且y|x=1=0；(4)
求下列一阶常系数线性差分方程的通解：(Ⅰ)4yt+1+16yt=20；(Ⅱ)2yt+1+10yt-5t=0；(Ⅲ)yt+1-2yt=2t；(Ⅳ)yt+1-yt=
求y""-y=e
｜x｜
的通解．
设y(χ)、y(χ)为二阶变系数齐次线性方程y〞＋p(χ)y′＋q(χ)y＝0的两个特解，则C
1
y
1
(χ)＋C
2
y
2
(χ)(C
1
，C
2
为任意常数)是该方程通解的充分条件为
设二阶常系数线性微分方程y""+αy"+βy=γe
x
的一个特解为y=e
2x
+(1+x)e
x
，试确定常数α，β，γ，并求该方程的通解．
在t＝0时，两只桶内各装10L的盐水，盐的浓度为15g／L，用管子以2L／min的速度将净水输入到第一只桶内，搅拌均匀后的混合液又由管子以2L／min的速度被输送到第二只桶内，再将混合液搅拌均匀，然后用1L／min的速度输出．求在任意时刻t＞0，从第二只桶内流出的水中含盐所满足的微分方程．
求方程y"+4y=3|sinx|满足初始条件．一π≤x≤π的特解．
设L是一条平面曲线，其上任意一点P(x，y)(x＞0)到坐标原点的距离，恒等于该点处的切线在y轴上的截距，且L经过点(1)求曲线L的方程；(2)求L位于第一象限部分的一条切线，使该切线与L及两坐标轴所围图形的面积最小
设位于第一象限的曲线y=f(x)过点，其上任一点P(x，y)处的法线与y轴的交点为Q，且线段PQ被x轴平分。求曲线y=f(x)的方程。
在x=0处展开下列函数至括号内的指定阶数：
(Ⅰ)f(x)=tanx(x
3
)；
(Ⅱ)f(x)=sin(sinx)(x
3
)．