已选分类
理学数学
设二阶常系数线性微分方程y〞＋ay′＋by＝ce
χ
有特解y＝e
2χ
＋(1＋χ)e
χ
，确定常数a，b，c，并求该方程的通解．
B解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。/B
设φ(x)是以2π为周期的连续函数，且φˊ(x)=φ(x)，φ(0)=0．
(1)求方程yˊ+ysinx=φ(x)e
cosx
的通解；
(2)方程是否有以2π为周期的解?若有，请写出所需条件；若没有，请说明理由．
求y〞－2y′－e
2χ
＝0满足初始条件y(0)＝1，y′(0)＝1的特解．
在xOy坐标平面上，连续曲线L过点M(1，0)，其上任意点P(x，y)(x≠0)处的切线斜率与直线OP的斜率之差等于ax(常数a＞0)。
用变量代换χ＝sint将方程(1－χ2)－4y＝0化为y关于t的方程，并求微分方程的通解．
某湖泊水量为V，每年排入湖泊中内含污染物A的污水量为，流入湖泊内不含A的水量为，流出湖的水量为．设1999年底湖中A的含量为5m0，超过国家规定指标．为了治理污染，从2000年初开始，限定排入湖中含A污水的浓度不超过．问至多经过多少年，湖中污染物A的含量降到m0以内(设湖中A的浓度是均匀的)?
设y
1
(x)、y
2
(x)为二阶变系数齐次线性方程y''+P(x)y'+q(x)y=0的两个特解，则C
1
y
1
(x)+C
2
y
2
(x)(C
1
，C
2
为任意常数)是该方程通解的充分条件为
设函数f(χ)二阶连续可导，f(0)＝1且有f′(χ)＋3∫
0
χ
f′(t)dt＋2χ∫
0
1
f(tχ)dt＋e
－χ
＝0，求f(χ)．
求微分方程χy′＋(1－χ)y＝e2χ(χ＞0)的满足y(χ)＝1的特解．
利用代换u＝ycosχ将微分方程y〞cosχ－2y′sinχ＋3ycosχ＝e
χ
化简，并求出原方程的通解．
设函数y=y(x)满足微分方程
y"-3y’+2y=2e
x
，
且其图形在点(0，1)处的切线与曲线y=x
2
一x+1在该点的切线重合，求y=y(x)的表达式．
求(x+2)y
""
+xy
"2
=y"的通解．
设f(x)是以ω为周期的连续函数，证明：一阶线性微分方程y"+ky=f(x)存在唯一的以ω为周期的特解，并求此特解，其中k为常数．
设函数f(t)在[0，+∞)上连续，且满足方程f(t)=e4πt2+.试求f(t)
假设：
①函数y=f(x)(0≤x≤+∞)满足条件f(0)=0和0≤f(x)≤e
x
一1；
②平行于y轴的动直线MN与曲线y=f(x)和y=e
x
一1分别相交于点P
1
和P
2
；
③曲线y=f(x)，直线MN与x轴所围成的封闭图形的面积S恒等于线段P
1
P
2
的长度。
求函数y=f(x)的表达式。
求下列函数的带皮亚诺余项的麦克劳林公式：
(Ⅰ)f(x)=sin
3
x；
(Ⅱ)f(x)=xln(1-x
2
)．
(2000年试题，七)求幂级数的收敛区间，并讨论该区间端点处的收敛性．
(2006年)函数y＝C
1
e
χ
＋C
2
e
－2χ
＋χe
χ
满足的一个微分方程是 【 】
设有微分方程y"一2y=φ(x)．其中，试求在(一∞，+∞)内的连续函数y=y(x)，使之在(一∞，1)和(1，+∞)内都满足所给方程，且满足条件y(0)=0