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理学数学
设y＝e
χ
为微分方程χy′＋P(χ)y＝χ的解，求此微分方程满足初始条件y(ln2)＝0的特解．
从船上向海中沉放某种探测仪器，按探测要求，需确定仪器的下沉深度y(从海平面算起)与下沉速度v之间的关系．设仪器在重力作用下，从海平面由静止开始铅直下沉，在下沉过程中还要受到阻力和浮力的作用．设仪器的质量为m，体积为V，海水的比重为ρ，仪器所受阻力与下沉速度成正比，比例系数为k(k＞0)．试建立y与v所满足的微分方程，并求出函数关系y=y(v)．
设(1)用变限积分表示满足上述初值问题的特解y(x)；(2)讨论是否存在，若存在，给出条件，若不存在，说明理由．
求微分方程的通解．
(2008年试题，19)将函数f(x)=1—x2(0≤x≤π)展开成余弦形式的傅里叶级数，并求的和．
设y=f(x)是第一象限内连接点A(0，1)，B(1，0)的一段连续曲线，M(x，y)为该曲线上任意一点，点C为M在x轴上的投影，O为坐标原点。若梯形OCMA的面积与曲边三角形CBM的面积之和为，求f(x)的表达式。
在下列微分方程中，以y=C
1
e
x
+C
2
cos2x+C
3
sin2x(C
1
，C
2
，C
3
为任意常数)为通解的是( )
(2000年)具有特解y
1
＝e
－χ
，y
2
＝2χe
－χ
，y
3
＝3e
χ
的三阶常系数齐次线性微分方程是 【 】
求下列微分方程的通解：(Ⅰ)(Ⅱ)xy+2y=sinx；(Ⅲ)ydx-2(x+y4)dy=0；(Ⅳ)y"+xsin2y=x3cos2y．
设f(χ)＝χsinχ－∫
0
χ
(χ－t)f(t)dt，其中f(χ)连续，求f(χ)．
(1998年试题，八)设正项数列{an}单调减少，且发散，试问级数是否收敛?并说明理由．
设函数y＝y(χ)满足微分方程y〞－3y′＋2y＝2e
χ
，且其图形在点(0，1)处的切线与曲线y＝χ
2
－χ＋1在该点的切线重合，求函数y＝y(χ)．
在上半平面上求一条上凹曲线，其上任一点P(x，y)处的曲率等于此曲线在该点的法线段PQ的长度的倒数(Q为法线与x轴的交点)，且曲线在点(1，1)处的切线与x轴平行．
设f(x)在(x0—δ，x0+δ)有n阶连续导数，且f(k)(x0)=0，k=2，3，…，n一1；f(n)(x0)≠0．当0＜|h|＜δ时，f(x0+h)一f(x0)=hf’(x0+θh)，(0＜θ＜1)．求证：
(1987年)求微分方程χ＝χ－y满足条件＝0的特解．
微分方程y〞－y＝e
χ
＋1的一个特解应具有形式(式中a，b为常数)( )．
设是某二阶常系数非齐次线性方程的解，则该方程的通解是()
求微分方程xy"+(1-x)y=e2x(x＞0)的满足的特解．
求y""+y=x
3
-x+2的通解．