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理学数学
设三阶常系数齐次线性微分方程有特解y
1
一e
x
，y
2
=2xe
x
，y
3
=3e
-x
，则该微分方程为( )．
设a＞0，函数f(x)在[0，+∞)上连续有界．证明：微分方程yˊ+ay=f(x)的解在[0，+∞)上有界．
微分方程xdy+2ydx=0满足初始条件y｜
x=2
=1的特解为( )
求微分方程χy′＝yln的通解．
求微分方程y"+y′一2y=(2x+1)e
x
一2的通解．
设f(u，v)具有连续偏导数，且f
u
"(u，v)+f
u
"(u，v)=sin(u+v)e
u+v
，求y(x)=e
-2x
f(x，x)所满足的一阶微分方程，并求其通解
细菌的增长率与总数成正比．如果培养的细菌总数在24h内由100增长到400，求前12h后的细菌总数．
求微分方程χy〞＋3y′＝0的通解．
设f(x)在x=a处n(n≥2)阶可导，且当x→a时f(x)是x-a的n阶无穷小，求证：f(x)的导函数f'(x)当→a时是x-a的a-1阶无穷小．
已知y
1
=xe
x
+e
2x
，y
2
=xe
x
+e
-x
，y
3
=xe
x
+e
2x
—e
-x
是某二阶线性非齐次方程三个解，求此微分方程．
(2002年试题，二)设un≠0(n=1，2，3，…)，且则级数().
设f(μ，ν)具有连续偏导数，且满足f
μ
'
(μ，ν)+f
ν
'
(μ，ν)=μν。求y(x)=e
－2x
f(x，x)所满足的一阶微分方程，并求其通解。
求解下列方程：
(I)求方程xy”=y’lny’的通解；
(Ⅱ)求yy”=2(y'
2
一y’)满足初始条件y(0)=1，y’(0)=2的特解．
求微分方程＝1＋χ＋y＋χy的通解．
B解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。/B
设f(χ)为连续正值函数，χ∈[0，＋∞)，若平面区域Rt＝{(χ，y)}0≤χ≤t，0≤y＜f(χ)}(t＞0)的形心纵坐标等于曲线y＝f(χ)在[0，t]上对应的曲边梯形面积与之和，求f(χ)．
设线性无关的函数y
1
，y
2
，y
3
都是二阶非齐次线性方程y""+P(x)y"+q(x)y=f(x)的解，C
1
，C
2
是任意常数，则该非齐次方程的通解是( )
某人的食量是2500卡／天(1卡＝4．1868焦)，其中1200卡／天用于基本的新陈代谢．在健身运动中，他所消耗的为16卡／千克／天乘以他的体重．假设以脂肪形式储存的热量百分之百有效，而一千克脂肪含热量10000卡，求该人体重怎样随时间变化．
已知函数y=y(x)在任意点x处的增量且当△x→0，α是△x的高阶无穷小，y(0)=π,则y(1)等于
设位于第一象限的曲线y=f(x)上任一点P(x，y)的切线在x轴上的截距等于该点法线在y轴上截距的相反数，且曲线经过点(1，0)，求该曲线．