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理学数学
B解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。/B
已知微分方程y""+(x+e
2y
)(y")
3
=0．
(Ⅰ)若把y看成自变量，x看成函数，则方程化成什么形式? (Ⅱ)求此方程的解．
求下列微分方程的通解：
在上半平面上求一条上凹曲线，其上任一点P(x，y)处的曲率等于此曲线在该点的法线段PQ的长度的倒数(Q为法线与z轴的交点)，且曲线在点(1，1)处的切线与x轴平行．
求下列方程的通解：(Ⅰ)(χ－2)dy＝[y＋2(χ－2)3]dχ；(Ⅱ)y2dχ＝(χ＋y2)dy；(Ⅲ)(3y－7χ)dχ＋(7y－3χ)dy＝0．
求解下列方程：
(Ⅰ)求方程xy″=y′lny′的通解；
(Ⅱ)求yy″=2(y
′2
－y′)满足初始条件y(0)=1，y′(0)=2的特解．
微分方程yˊˊ－4yˊ+4y=x
2
+8e
2x
的一个特解应具有形式(a，b，c，d为常数) ( )
设f(x)为连续函数，且f(x)=sinx一∫
0
x
(x一t)ft)dt，求f(x)．
(2005年)用变量代换χ＝cost(0＜t＜π)化简微分方程(1－χ
2
)y〞－χy′＋y＝0，并求其满足y｜
χ＝0
＝，y′｜
χ＝0
＝2的特解．
早晨开始下雪整天不停，中午一扫雪车开始扫雪，每小时扫雪体积为常数，到下午2点扫雪2km，到下午4点又扫雪1km，问降雪是什么时候开始的?
求微分方程y"+4y′+4y=0的通解．
设y＝y(χ)是一向上凸的连续曲线，其上任意一点(χ，y)处的曲率为，又此曲线上的点(0，1)处的切线方程为y＝χ＋1，求该曲线方程，并求函数y(χ)的极值．
函数y=C
1
e
x
+C
2
e
－2x
+xe
x
满足的一个微分方程是( )
利用代换y=将方程y''cosx一2y'sinx+3ycosx=ex化简，并求出原方程的通解。
求方程y""+2my"+n2y=0满足初始条件y(0)=a，y"(0)=b的特解，其中m＞n＞0，a，b为常数，并求
微分方程的通解是()
B解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。/B
(2007年试题，20)设幂级数anxn在(一∞，+∞)内收敛，其和函数y(x)满足y""一2xy"一4y=0。y(0)=0，y"(0)=1
已知，y
1
=x，y
2
=x
2
，y
3
=e
x
为方程y""+p(x)y"+q(x)y=f(x)的二个特解，则该方程的通解为( )
求下列差分方程的通解：(Ⅰ)yt+1-αyt=eβt，其中α，β为常数，且α≠0；(Ⅱ)yt+1+2yt=