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理学数学
从船上向海中沉放某种探测仪器，按探测要求，需确定仪器的下沉深度y(从海平面算起)与下沉速度v之间的函数关系。设仪器在重力作用下，从海平面由静止开始铅直下沉，在下沉过程中还受到阻力和浮力的作用。设仪器的质量为m，体积为β，海水比重为ρ，仪器所受的阻力与下沉速度成正比，比例系数为k(k＞0)。试建立y与v所满足的微分方程，并求出函数关系式y=y(v)。
设y(χ)是微分方程y〞＋(χ－1)y′＋χ2y＝eχ满足初始条件y(0)＝0，y′(0)＝1的解，则()．
求微分方程x
2
y′+xy=y
2
满足初始条件y(1)=1的特解．
设f(χ)二阶可导，且∫
0
χ
f(t)dt＋∫
0
χ
tf(χ－t)dt＝χ，求f(χ)．
设热水瓶内热水温度为T，室内温度为T
0
，t为时间(以小时为单位)．根据牛顿冷却定律知：热水温度下降的速率与T-T
0
成正比．又设T
0
=20℃，当t=0时，T=100℃，并知24小时后水瓶内温度为50℃，问几小时后瓶内温度为95℃?
求微分方程的通解．
设曲线y＝y(χ)上点(χ，y)处的切线垂直于此点与原点的连线，求曲线y＝y(χ)的方程．
求微分方程(1-x
2
)y""-xy"=0的满足初始条件y(0)-0，y"(0)=1的特解．
设有微分方程y′－2y＝φ(χ)，其中φ(χ)＝，在(－∞，＋∞)求连续函数y(χ)，使其在(－∞，1)及(1，＋∞)内都满足所给的方程，且满足条件y(0)＝0．
具有特解y
1
=e
-x
，y
2
=2xe
-x
，y
2
=3e
x
的三阶常系数齐次线性微分方程是( )
利用变换y=f(e
x
)求微分方程y""-(2e
x
+1)y"+e
2x
y=e
3x
的通解．
方程y′sinx=ylny满足条件y()=e的特解是
设φ
1
(χ)，φ
2
(χ)为一阶非齐次线性微分方程y′＋P(χ)y＝Q(χ)的两个线性无关的特解，则该方程的通解为( )．
设y=y(x)是凸的连续曲线，其上任意一点(x，y)处的曲率为，且此曲线上点(0，1)处的切线方程为y=x+1，求该曲线的方程，并求函数y=y(x)的极值。
用泰勒公式求下列极限：
设曲线L位于χOy平面的第一象限内，L上任意一点M处的切线与y轴总相交，交点为A，已知｜MA｜＝｜OA｜，且L经过点()，求L的方程．
从船上向海中沉放某种探测仪器，按探测要求，需确定仪器的下沉深度y(从海平面算起)与下沉速度v之间的关系．设仪器在重力作用下，从海平面由静止开始铅直下沉，在下沉过程中还要受到阻力和浮力的作用．设仪器的质量为m，体积为V，海水的比重为ρ，仪器所受阻力与下沉速度成正比．比例系数为K(K＞0)．试建立y与v所满足的微分方程，并求出函数关系y=y(v)．
求微分方程的通解．
微分方程y"一4y=x+2的通解为()．
(1999年试题，五)设函数y(x)(x≥0)二阶可导且y
"
(x)>0，y(0)=1．过曲线y=y(x)上任意一点P(x，y)作该曲线的切线及x轴的垂线，上述两直线与x轴所围成的三角形的面积记为S
1
,区间[0，x]上以y=y(x)为曲线的曲边梯形面积记为S
2
，并设2S
1
一．S
2
恒为1，求曲线y=y(x)的方程．