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理学数学
假设：(1)函数y=f(x)(0≤x＜∞)满足条件f(0)=0，和0≤f(x)≤e
z
一1；
(2)平行于y轴的动直线MN与曲线y=f(x)和y=e
x
一1分别相交于点P
1
和P
2
；
(3)曲线y=f(x)，直线MN与X轴所围封闭图形的面积S恒等于线段P
1
P
2
的长度．求函数y=f(x)的表达式．
设位于第一象限的曲线y=f(x)过点其上任一点P(x，y)处的法线与y轴的交点为Q，且线段PQ被x轴平分。求曲线y=f(x)的方程。
设f(x)连续，且满足∫
0
1
f(tx)dt=f(x)+xsinx，求f(x)．
求(y
3
-3xy
2
-3x
2
y)dx+(3xy
2
-3x
2
y
3
-x
3
+y
2
)dy=0的通解．
设f(x)=x
2
sinx，求f
(n)
(0)
(1993年)设二阶常系数线性微分方程y〞＋αy′＋βy＝γe
χ
的一个特解为y＝e
2χ
＋(1＋χ)e
χ
，试确定常数α、β、γ，并求该方程的通解．
一条均匀链条挂在一个无摩擦的钉子上，链条长18m，运动开始时链条一边下垂8m，另一边下垂10m，问整个链条滑过钉子需要多长时间?
已知y
1
=3，y
2
=3+x
2
，y
3
=3+e
x
．是二阶线性非齐次方程的解，求方程通解及方程．
求微分方程χy＝χ2＋y2满足初始条件y(e)＝2e的特解．
(1998年)从船上向海中沉放某种探测仪器，按探测要求，需确定仪器的下沉深度y(从海平面算起)与下沉速度v之间的函数关系，设仪器在重力的作用下，从海平面由静止开始铅直下沉，在下沉过程中还受到阻力和浮力的作用．设仪器的质量为m，体积为B，海水比重为ρ，仪器所受的阻力与下沉速度成正比，比例系数为k(k＞0)．试建立y与v所应满足的微分方程，并求出函数关系式．
求微分方程(1+x)y"=(x≥0)满足初始条件y(0)=y"(0)=0的特解，其中常数k＞0．
确定下列无穷小量当x→0时关于x的阶数：(Ⅰ)f(x)=ex-1-x-xsinx；(Ⅱ)f(x)=cosx-1．
B解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。/B
设函数f(χ)连续，且∫
0
χ
f(t)dt＝sin
2
χ＋∫
0
χ
tf(χ－1)dt．求f(χ)．
用变量代换x=cost(0＜t＜π)化简微分方程(1一x
2
)y""一xy"+y=0，并求其满足y｜
x=0
=1，y"｜
x=0
=2的特解。
(2009年试题，一)设有两个数列{an}，{bn}，若则()．
具有特解y
1
=e
－x
，y
2
=zxe
－x
，y
3
=3e
x
的三阶常系数齐次线性微分方程是 ( )
设y
1
=e
-x
，y
2
=2xe
-x
，y
3
=3e
x
是某三阶常系数齐次线性微分方程的解，试确定该微分方程的形式.
求微分方程xyˊ+y=xe
x
满足y(1)=1的特解．
用变量代换χ＝lnt将方程＋e2χy＝0化为y关于t的方程，并求原方程的通解．