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理学数学
求微分方程的通解．
设f(x)连续，且满足f(tx)dt=f(x)+xsinx，求f(x)．
设f(x)，g(x)在x=x
0
某邻域有二阶连续导数，曲线y=f(x)和y=g(x)有相同的凹凸性．求证：曲线y=f(x)和y=g(x)在点(x
0
，y
0
)处相交、相切且有相同曲率的充要条件是：f(x)-g(x)=o((x-x
0
)
2
)(x→x
0
)．
已知函数y=e
2x
+(x+1)e
x
是二阶常系数线性非齐次方程y”+ay’+by=ce
x
的一个特解，试确定常数a，b，c及该方程的通解．
求下列方程的通解：(Ⅰ)y′=[sin(lnx)+cos(lnx)+a]y；(Ⅱ)xy′=+y．
设f(u，v)具有连续偏导数，且满足f
u
"(u，v)+f
v
"(u，v)=uv。求y(x)=e
-2x
f(x，x)所满足的一阶微分方程，并求其通解。
设f(x)在[0，1]二阶可导，｜f(0)｜≤a，｜f(1)｜≤a，｜f''(x)｜≤b，a，b为非负数，求证：∈(0，1)，有｜f'(c)｜≤2a+b.
设f(x)二阶可导，且=x+1，求f(x)．
求微分方程xy"+2y′=e
x
的通解．
设函数f(t)=，且f(t)连续，试求f(t)．
设y1，y2是一阶线性非齐次微分方程y'+p(x)y=q(x)的两个特解，若常数λ，μ使λy1+μλ2是该方程的解，λy1一μy2是该方程对应的齐次方程的解，则()
设f(χ)是以ω为周期的连续函数，证明：一阶线性微分方程y′＋ky＝f(χ)
设函数y(x)(x≥0)二阶可导，且y
'
(x)＞0，y(0)=1。过曲线y=y(x)上任意一点P(x，y)作该曲线的切线及x轴的垂线，上述两直线与x轴所围成的三角形的面积记为S
1
，区间[0，x]上以y=y(x)为曲边的曲边梯形面积记为S
2
，并设2S
1
一S
2
恒为1，求曲线y=y(x)的方程。
解方程(3x
2
+2)y""=6xy"，已知其解与e
x
-1(x→0)为等价无穷小．
B解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。/B
求微分方程yˊˊ+2yˊ+y=xe
x
的通解．
求下列方程通解或满足给定初始条件的特解：1)y’+1=xex+y．2)3)y’+ytanx=cosx4)(1+x)y”+y’=05)yy”一(y’)2=y4，y(0)=1．y’(0)=06)y"+4y’+1=07)y"+9y=cos(2x+5)8)y"'一3y”+9y’+13y=e2xsin2x
已知f(x)连续，且满足∫01f(ux)du=，求f(x)．
求下列微分方程的通解或特解：(Ⅰ)－4y=4x2，y(0)=，y′(0)=2．(Ⅱ)+2y=e－xcosx．
设f(x)连续，且求f(x)．