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工学
结构推理
设在H0表象中，的矩阵为：
试用微扰论求能量的二级修正。
结构推理
设Einstein自发辐射系数，证明：一个原子通过电偶极辐射到氢原子基态，辐射的相对频率宽度具有的数量级，这里是精细结构常数．
结构推理
在一维势场中运动的粒子，势能对原点对称：，证明粒子的定态波函数具有确定的宇称。
结构推理
HD分子的两个最低转动能级差是多少电子伏特？HD(D是一个氘核）距离是.
结构推理
在Ramsey谱学中一个有兴趣的问题是测量如下Hamilton量中的频率，
为此，制备一个两能级系统在态上，并让它按这个演化一个固定的时间T。在T之后测量算符，(1)计算得到+1的概率。通过测量这个概率即可算出 .(2)如果重
复N次实验，计算得到次为+1的概率。(3)计算得到+1结果的平均次数，以及它的方均
差。(4)证明的测量误差是。
结构推理
估计一处于基态的氦原子的磁化率。它是抗磁性的还是顺磁性的？
结构推理
求二维和三维中心力场能量本征值问题的对应关系，对于氢原子和各向同性谐振子，利用已知的三维问题能级公式，导出相应的二维问题的能级公式。
结构推理
一个速度为的热中子被一个速度为的质子吸收产生一个氚核和一个能量为E的光子．相反的过程是一个能量E的光子引起一个具有等大但方向相反的动量的氚核分裂为速度为和- 的质子与中子．若用和分别表示这两种过程的横截面．(1)在一个体积为V的盒子里含有一定数量的中子一质子对和一定数量的光子氖核对．
每对中子-质子对的质心相对盒子静止但相对速度为，类似有每对光子-氚核对中光子与氘
核的动量大小相等而方向相反，而每个光子能量为E．试证明吸收截面
式中，表示中子一质子对的态，表示氚核一光子对的态，是态的态密度，
是引起两个过程的微扰Hamilton量．
(2)由此证明
这里m是中子质量（与质子相同），c是光速．
结构推理
当自由电子与中子的德布洛意波长均为时，求它们各自具有的能量。若它们的速度相等，求出电子与中子波长之比的值。
结构推理
质量为的粒子在中心势场中运动，只讨论能够出现束缚态的情形，即的情形。（1）找出特征长度的量纲构造式，将径向方程无量纲化；（2）视为参量，确定能级构造和它们的关系；（3）分别就三种特例作具体讨论。
结构推理
设发球某能及E有三个归一化的简并态（），彼此线性无关，但不正交。试找出三个彼此正交归一化的波函数。它们是否还简并？
结构推理
设两电子在弹性辏力场中运动，每个电子的势能是。如果电子之间的库仑能和相比可以忽略，求当一个电子处在基态，另一电子处于沿x方向运动的第一激发态时，两电子组成体系的波函数。
结构推理
用氢原子波函数可近似描述两氢原子系统的波函数．
(1)分别给出单态和三态最低态的完全波函数，画出波函数沿两原子连线上的题图 (a). (2)在上述两种情况下，作出两氢原子系统的势能曲线（势能与两原子核之间距离的曲线，忽略系统的旋转）．解释曲线形状的物理原因和两曲线不同之处的原因．
结构推理
考虑一个由细导线组成的半径为R的圆环(下图)，与环面垂直的均匀恒定磁场使通过环的磁通量为。设想导线只有一个电子且此电子可沿环自由移动。此电子的波函数只是角度的函数，忽略电子自旋与外磁场及电子自身产生的磁场之间的一切相互作用。(1)在上述近似下，此电子基态能量如何赖于外加的磁场？推导出公式并且画出结果的简图。(2)设想起先在有磁通量存在条件下线环处于基态，然后缓慢地去掉磁场。问线环中的电流是多少？(3)假设R＝2cm，＝0.6，求电流是多少安培？
结构推理
早在20世纪20年代，Ramsauer和Townsend各自独立地发现对于能量约0.4eV的电子，在气态氩原子上的散射截面比几何散射截面（为原子半径）小得多．同时还发现，6eV的电子的散射截面是几何散射截面的3.5倍，而且散射几乎是各向同性的．问反常散射截面的起源为何？对于低能电子来说，最大的可达到的散射截面多大？
结构推理
考虑无电荷但自旋为磁矩为的粒子的一维运动。粒子被约束在无限深方势阱中，势阱从延伸到。在I区()有z方向的均匀磁场，在II区()有同样大小但指向x方向的均匀，磁场。是x和z方向的单位矢量(如下图)。(1)在弱场极限下，用徽扰论找出基态的能量和波函数(自旋和空间)。(2)现考虑任意，找出在I区满足左方边条件的能量本征函数的一般表达式(空间和自旋)。同理求II区满足右方边条件的能量本征函数。
结构推理
一群自旋为J的原子，及密度矩阵为．如果这些自旋受随机涨落的磁场的影响，那么发现密度矩阵随时间的张弛由下式给出
证明上述关系式意味着下述式子成立
（1）．
(2) ．
结构推理
一片石蜡放在一均匀磁场中．石蜡中含许多氢原子核．这些原子核的自旋与其周围环境彼此无相互作用，并且在一级近似下只与外磁场相互作用．（1）在温度为T时，写出处于各种磁亚稳态中质子数目的表达式．(2)为了能够观察到由于振荡磁场而引起的共振吸收，引入一电频线圈．振荡磁场相对于磁场应沿何方向？为什么？(3)频率为多少时才能观察到共振吸收？在你的表达式中给出每一个量的单位使得频率以兆周为单位．(4)用质子自旋态发生跃迁的机制说明为什么在初始脉冲之后从磁场中吸收能量的现象仍然不消失，而实际上却是以一定的速率在连续进行着．当振荡磁场的强度增到很强时，吸收率如何改变？为什么？
结构推理
考虑一个弹性散射实验，其中x远重于a(不考虑两者的自旋）．实验结果中总散射截面对的依赖关系可见题图，发现在处，总散射截面有一共振峰，此时，且共振时，从各个角度都可以观察到散射效应，除了之外（在这个角度上散射消失）．在远离共振区时，是各向同性的．试求：(1)共振的角动量J是多少？(2)计算在共振时，在方向的微分散射截面的近似值．
结构推理
一粒子的某一量子力学态，在直角坐标中由归化波函数
描述。证明系统处在一个具有确定角动量的态上。并给出该态相应的和的值。
结构推理
一个核被束缚在自然频率为的一维谐振子势阱中，记各态为，其中是谐振子势场中的本征态，描写质心运动；而为确定核的内部状态的波函数．假定核一开始处于状态，然后衰变到基态，同时在x方向上发射一个光子．假定核激发能比谐振子激发能大得多：(1)发射光子后核的波函数为何？(2)计算相对概率，其中是核子处于态的概率. (3)设估计的数值．
结构推理
写出无自旋带电粒子在磁场中的Hamilton量。证明规范变换等价于波函数乘上因子。这个结果的意义是什么？考虑沿z轴均匀磁场H的情况，证明能级可写成
讨论波函数的特点(提示 利用规范)。
结构推理
证明从单粒子的薛定谔方程式得出的速度场是非旋的，即
结构推理
预选建立一个Stern-Gerlach实验，使得一个电子的自旋z分量是。在时加入一个沿x方向的均匀磁场B(用cgs单位)。(1)经过时间T后，测量自旋z分量的结果是什么？(2)如果不是测量自旋的z分量，而是x分量，则结果如何？
结构推理
求一维谐振子处在第一激发态时概率最大的位置。
结构推理
全同玻色子的波函数有什么特点？并写出两个玻色子组成的全同粒子体系的波函数。
结构推理
一质量为m、动量为p的粒子从左射入阶跃状势垒，计算下列两种情况下粒子向后散射的概率：（1）；（2）。
结构推理
证明氢原子中电子运动所产生的电流密度在球坐标是分量是
结构推理
证明力学量A（不显含t）的平均值对时间的二次微商为
H为Hamilton量。
结构推理
设F为Hermite算符，证明在能量表象中的求和规则
结构推理
一个质量为m的粒子在一个无限扩展的周期势中运动，除了在相隔为、宽度为的区间内为外，其他地方处处为0，这里是一个大的正势，可以把势当作Dirac函数之和：，或把间隔当作有限然后取极限从而得以同样的答案。（1）什么是波函数的适合的边界条件？为什么？设可通过势传播的波的最低能量为（这里的定义）；（2）给出一个可解出（即）的超越方程。
结构推理
无自旋粒子在柱对称势作用下运动（柱坐标记号为），（1）证明，写出径向定态方程。（2）设描述平面反射，则与H是否对易？证明，从而的共同本征矢在的作用下，仍为的本征矢，这对能级简并度有什么影响？
结构推理
设在曲线坐标（）中线元ds表为
写出这曲线坐标中的薛定谔方程式，写出球面坐标系中的薛定谔方程式。
结构推理
证明在定态中，概率流密度与时间无关。
结构推理
利用证明，其中，为任意正交归一完备本征函数系。
结构推理
求连续性方程的矩阵表示
单选题
对氢原子和类氢离子的量子数L，下列叙述不正确的是( )
A、 L的取值规定了m的取值范围. B、 它的取值与体系能量大小有关
C、 它的最大可能取值有解R方程决定 D、 它的取值决定了角动量的大小
结构推理
可以证明在一维方势阱中至少有一个束缚态。用这一事实再分变分原理证明任何形状的一维吸引势场中至少有一个束缚态。
结构推理
类氢离子中，电子与原子核的库仑相互作用为
（为核电荷）
当核电荷变为时，相互作用能增加，试用微扰论计算它对能量的一级修正，并与严格解比较。
单选题
下列条件不是品优函数的必备条件的是( )
A、连续 B、单值
C、归一 D、有限或平方可积
单选题
波长为662.6pm的光子和自由电子，光子的能量与自由电子的动能比为何值？( )
A、1000000:3663 B、 273:1
C、1:C D、546:1
结构推理
求能量表象中，一维无限深势阱的坐标与动量的矩阵元。
问答题自旋为，磁矩为μ，电荷为零的粒子置于磁场中。t=0时磁场为=(0，0，B0)，粒子处于的本征值为-1的本征态。设在t＞0时，再加上弱磁场，求t＞0时的波函数，以及测到自旋反转的概率。
结构推理
考虑1keV的质子被氢原子散射．(1)角分布如何？（画图并解释）．(2)估计总截面．用或b给出，解释你的理由．
问答题计算[[▽2,xlymzn]，r2]．
结构推理
一个质量为m，电荷为e，动量为的粒子在一个由球对称电荷分布产生的静电势场中被散射，是体积元中的电荷．设随很快趋于零，并有和为已知数。在第一级Born近似下，计算向前散射的微分散射截面（即，其中是散射角）。
结构推理
考虑在一维势中运动的粒子，如图所示
其中，也就是说，在谐振子势中心有一很高、很薄、几乎不可穿透的势叠。（1）在势垒完全不可穿透的近似下，低能量谱是什么？（2）定性描述由于势垒有有限的穿透率时对能谱产生的效应。
结构推理
证明不存在的三个分量都反对易的非零二维矩阵。
问答题粒子在势场V(x) 中运动并处于束缚定态ψn(x) 中。 试证明粒子所受势场作用力的平均值为零。
结构推理
讨论以下波函数的归一化问题：
（1）粒子在一维无限深势阱中运动，设，求A使波函数归一。（2）设，为已知常数，求归一化常数A。（3）设，粒子的位置概率分布如何？能否归一？（4）设，粒子的位置概率分布如何？能否归一？
结构推理
设一体系未受微扰作用时有两个能级：，现在受到微扰的作用，微扰矩阵元为；都是实数。用微扰公式求能量至二级修正值。
填空题
自由粒子的能量算符=________，它是________量。是自由粒子能量算符的本征值为________的本征函数，它是平面单色波________和________的叠加态，在该态下，________具有确定值，但________不具有确定值，它的可能测值是________或________。
结构推理
对于氢原子的态，求电子在经典禁区（的区域）出现的概率。
问答题设A、B为矢量算符，F为标量算符，证明 [F，A·B]=[F，A]·B+A·[F，B] (1) [F，A×B]=[F，A]×B+A×[F，B] (2)
问答题粒子以能量E入射一维方势垒，。设能量E＞V0，求透射系数T。
问答题设为么正算符，若存在两个厄米算符和使，试证：
问答题考虑自旋为的系统。试在表象中求算符的本征值及归一化的本征态。其中是角动量算符，而A，B为实常数。
结构推理
论证：任意给定的三粒子纯态不一定能进行Schmidt分解。
结构推理
氢原子之间势的范围约是对于处在热平衡下的气体，粗略估计它的某一温度，当温度低于此温度时，原子-原子散射主要是s波．
问答题电子处于沿+z方向、大小为B的均匀磁场中。设t=0时刻电子自旋沿+y方向。1．试求t=0时电子自旋波函数。2．试分别求在t＞0时电子自旋沿+z、+y、+z方向的概率。
结构推理
设在时，氢原子处于基态，以后受到单色光的照射而电离。设单色光的电场可以近似地表示为，及均为零；电离电子的波函数近似地以平面波表示。求这单色光的最小频率和在时刻跃迁到电离态的几率。
问答题用不确定度关系估算一维谐振子的基态能量。
结构推理
(1)证明在球对称势（这里g为常数，为三维函数）中，在Born近似下，散射振幅为
(2)若用势来模拟散射长度为b的核对势中子的散射势，求g的表达式．(3)波长为兄的热
中子入射一块材料厚片，设其中的核具有相等的散射长度，证明厚片的行为像一块折射率
为n的介质，n为
这里N是单位体积的核数．(4)证明若b＞0，则介质表面全反射的临界角．
问答题粒子在一维对称无限深方势阱中运动。设t=0时，粒子所处状态为，其中为系统第n个能量本征态。求t＞0时的以下量：
问答题证明(l×p)×(l×p)=-ihlp2．
结构推理
一维运动粒子处于能量本征态，求粒子所处的势场。
结构推理
考虑一带有一个单价电子的原子，其精细结构Hamilton量由给定。确定和表征的能级差(精细结构间隔)。用表示。
结构推理
若为Pauli矩阵，求：(1)在表象中，的归一化本征态。(2)在表象中，的本征态和本征值。
结构推理
一自由碳原子有4个成对s电子，2个p电子。假定存在L-S精细结构耦合，就是说，和是好量子数。(1)列表示各可能态的S，L，J值，指出相应的重数。(2)哪一个态具有最低能量？给出理由。
结构推理
设有一个质量为m，能量为E的粒子在球对称势上散射，其中B和都是常数．(1)在散射能量很高的情况下，用Born近似计算微分散射截面．(2)在甚低能散射的情形，，微分散射截面为何？
结构推理
固定在z轴上的两个电子间存在一个磁偶极-偶极相互作用能
为Pauli自旋矩阵，A为常数（令）
(1)用总自旋算子表示. (2)求的本征值和简并度（统计权重）．
结构推理
(1)对于氢原子基态和前两个激发态，用能级图给出它们的完全集量子数(总角动量，自旋，宇称)。(2)定性解释Pauli原理在决定能级次序时所起的作用。(3)假设只有Coulomb力，并且知道Z=2的类氢波函数标记为，，等，以及与Z=2相联系的类氢能量本征值为，，，…。给出这些氦原子态能级的微扰公式，不要计算积分，但要仔细解释你表述的结论中的符号。
问答题对于一维谐振子的基态，求坐标和动量的不确定度的乘积△x·△p。
结构推理
由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长与温度T成反比，即 T=b（常量）；并近似计算b的数值，准确到二位有效数字。
结构推理
在时氢原子的波函数为
其中指标是量子数的值，忽略自旋和辐射跃迁。（1）什么是该体系能量的期望值？（2）在t时刻体系处于态的概率是什么？（3）电子在质子之内的概率是什么（时）（这里可采用近似结果）？
结构推理
证明在定态中，几率流密度与时间无关。
结构推理
在量子力学产生之前，一个大的理论问题是如何防止原子发光，解释之。在量子力学产生之后，一个大的理论问题是如何使处于激发态的原子发光，解释之。是什么使激发态发光？
问答题设算符F和角动量算符J对易，即F为标量算符，证明：
结构推理
设A、B是与对易的任何矢量算符，证明。
问答题设A，B为矢量算符，F为标量算符．证明 [F，A·B]=[F，A]·B+A·[F，B]， [F，A×B]=[F，A]×B+A×[F，B]．
结构推理
双原分子中，质子运动通常比电子运动慢得多，对此可以用绝热近似，这个近似假定电子波函数由质子的瞬时位置决定，氢分子离子的高度理想化模型由下面一维Hamilton量给出
式中是质子的坐标。（1）任意所决定的所有本征值和本征函数如何？你可以用一个超越方程表示该本征值。对两种情形和给出解析结果。（2）假定质子（）绝热运动并有排斥势作用于其间，近似计算质子的平衡距离。
问答题一个质量为m的粒子被限制在r=a和r=b的两个不可穿透的同心球面之间运动。不存在其它势，求粒子的基杰能量和归一化波函数。
结构推理
在氘核的简化模型中，势能形式为其中和为两个自旋粒子的自旋算子，和是粒子间距r的函数．将两粒子的质量记为和 (1)能量本征值问题可化为以r为变量的一维问题，写出此一维方程 (2)若和都不大于0，说明基态是单态还是三态．
问答题证明 (l×p)2=(p×l)2=-(l×p)·(p×l)=l2P2 -(p×l)·(l×p)=l2p2+4h2p2
结构推理
电荷为q、质量为m的粒子受到均匀静电场E的作用。(1)写出这个系统的含时方程。(2)证明当粒子处于任意态时，坐标算符的期望值满足牛顿第二定律。(3)可以证明，这一结果在还有一个均匀静磁场存在的情况下也是正确的。这一结论在质谱仪，粒子加速器等仪器的设计中有用吗？试解释之。
结构推理
化简，，其中为常数。
问答题粒子在势场中运动(V0＞0)。试求系统能级或能级方程。
结构推理
考虑一维无限深势阱中的一个粒子（题图).令原点位于势阱中心．（l）所允许的能量是多少？(2)所允许的波函数是什么？(3)对哪类解微扰势对能量无第一级效应？(4)若态之间可发生偶极辐射跃迁，则选择定则是什么？
结构推理
核相对于离解成两个粒子来说是不稳定的．但核反应实验定出该核的两个最低不稳定能级如下：
J＝0，偶宇称，高于离解能级约95keV.
J＝2，偶宇称，高于离解能级约3MeV.
考虑由于这些能级存在将对氦气与粒子之间散射产生怎样影响，特别：(1)写出时
弹性散射波函数的分波表达式．（2）定性描述作为能量函数的相应相移在每个能级附近如何变化．(3)描述该变化对粒子的角分布有何影响．
结构推理
考虑质量为m的质点在一维势中的运动，其中是正整数，，在定性讨论能量本征值的分布和相应本征函数的宇称（如果有的话）。用不确定性原理，估计基态能量的数量级，具体用于和的情况下，说明这时是什么样的，把你的估计同你以前对这些势的知道作一比较。
问答题证明 r·l=l·r=0，p·l=l·p=0 计算(p×l)或(l×p)和p及l的标积．
问答题考虑一维阶梯势设粒子从右边向左入射，试求反射系数和透射系数。
结构推理
说明：如果算符和都是厄米的，那么 (+)也是厄米的
结构推理
什么样的状态是定态，其性质是什么？
问答题各向同性的三维谐振子哈密顿算符为。加上微扰后，求对第一激发态的一级能量修正。
问答题两个自旋为的非全同粒子，自旋间相互作用为，其中和分别为粒子1和粒子2的自旋算符。设t=0时粒子1的自旋沿z轴的正方向，粒子2的自旋沿z轴的负方向。求t＞0时测到粒子2的自旋仍处于z轴负方向的概率。
结构推理
问答题一个质量为m的粒子被限制在r=a和r=b的两个不可穿透的同心球面之间运动，不存在其它势。求粒子的基杰能量和归一化的波函数。
问答题假定此系统处于以上算符的一个本征态上，求测量得到结果为的概率。
问答题定义反对易式{A，B}=AB+BA，证明： [AB，C]=A{B，C}-{A，C}B，[A，BC]={A，B}C-B{A，C}， [AB，C]-A[B，C]+[A，C]B，[A，BC]=[A，B]C+B[A，C]．
问答题粒子在一维无限深方势阱()中运动，受到微扰的作用。求第n个能级的一级近似，并分析所得结果的适用条件。
问答题已知谐振子处于第n个定态中，试导出算符的平均值及不确定度△x、△p，并求出△x·△p值。
问答题粒子在二维无限深方势阱中运动，。加上微扰H=λxy后，求基态和第一激发态能级的一级微扰修正。
问答题两个线性算符和满足下列关系：
问答题设氢原子所处状态为。
问答题证明：不存在与σ的三个分量都反对易的非零二维矩阵．
问答题证明：与σ的三个分量都对易的非零二维矩阵必为常数矩阵．
问答题在一维无限深方势阱(0＜x＜a)中运动的粒子受到微扰作用。试求基态能量的一级修正。
结构推理
已知质量为m、电荷为q的粒子处于态时，其电荷密度和电流密度分别为。问如何引入电荷密度和电流密度算符？解释这两个算符的物理意义，并证明它们的平均值就是这里的表达式。
问答题粒子在一维势场 V(x) =A|x|n (-∞＜x
填空题
自由粒子平面波函数的动量不确定度________,坐标不确定度________。
结构推理
问下列算符是否是厄米算符：
① ②
问答题以l=r×p表示轨道角动量．证明：在lz的任何一个本征态下，lx和ly的平均值为0．
问答题质量为m的粒子被限制在a以的一维无穷深方势阱中。初始时刻其归一化波函数为，求
结构推理
体系的两个密度矩阵对于的相对熵定义为
证明它是非负的。
问答题两个无相互作用的粒子(质量均为m) 置于一维无限深方势阱(0＜x＜a) 中。对下列两种情况写出：两粒子体系可具有的两个最低总能量值，相应的简并度以及上述能级对应的所有二粒子波函数。
问答题证明p×(l×p)=-(l×p)×p=lp2
问答题一维谐振子系统哈密顿量为，设受到微扰的作用。试求对第n个谐振子能级的一级微扰修正。(已知矩阵元)
问答题设系统哈密顿算符为，粒子处于归一化的束缚定态ψn中。试证明Virial定理：
问答题设J为角动量，n、m为任意两个方向的单位矢量，计算[Jm，Jn]．其中Jm=m·J，Jn=n·J
结构推理
证明若与都对易，则为常数算符，即。
结构推理
粒子在中心势场中运动，处于能量本征态
如已经归一化，则势能平均值等于试证明：如为单调上升函数，即，则对于任意给定的距离，均有
（1）
结构推理
一完全弹性的球在两平行墙之间弹跳。(1)运用经典力学，计算当墙匀速缓慢靠拢时球在单位时间内的能量变化。(2)证明在球的量子数不变情况下，关于球能量变化的量子力学结果与(1)中结果相同。(3)如果球处在n=1的量子态上，墙怎样运动才能保证球仍在n=1态上？
结构推理
求一维谐振子处在第一激发态时几率最大的位置。
结构推理
采用柱面坐标()，设磁场B仅存在于很小的柱形区域内，通量为，处无磁场。令，但保持通量不变。(1)证明矢势可以表示为
(1)
(2)讨论机械角动量的本征值，导出磁通量量子化。
结构推理
一电荷为的线性谐振子受恒定电场作用，电场沿正方向。用微扰法求体系的定态能量和波函数。
结构推理
已知两qubit系统的一个量子态,
(1)求的谱分解；
(2)沿n测，沿m测，这里，求它们都沿各自相应轴朝上的概率。
结构推理
到目前为止，在Bell不等式问题上什么是实验支持了的？什么是还没能搞清楚的？
结构推理
设氢原子处在的态（为第一玻尔轨道半径），求
①的平均值；
②势能的平均值。
结构推理
结构推理
(1)假定一束窄的粒子束正入射到一块很薄的金箔上，沿与入射方向成角的散射粒子在被一探测器s接收，探测器相对原点C（粒子入射金箔的位置中心）所张角为。试证明，被s探射到的散射粒子数占入射粒子的比例是
这里是单核的微分散射截面，是金箔中单位体积的核数目，d是箔厚。箔厚d足够小，
以至于可以认为在箔内任何深度的入射粒子流密度与入射前相同．(2) 粒子散射的系统
测量最早由Geiger和Marsdon在1913年完成．他们所用的源是，发射的粒子能量
，探测器面积，离散射中心C点距离l0mm，箔厚，他们发现．（金的原子质量为197，金箔密度为)试从这些测量结果中求金的原子序数．
结构推理
已经描述氢原子中电子运动状态的三种可能波函数在球坐标中可以写为
其中已经正交归一化，常数，证明和态的电矩为零，求出态电矩的表达式，并指出矩的取向。
结构推理
设为一个依赖时间变化的Hanulton量引起的从时的k态到时刻的j态的跃迁概率，用一阶含时微扰论证明，这里是同一Hamilton量引起的从时的j态到时的k态的跃迁概率．
结构推理
平面转子的转动惯量为,求能量允许值.
结构推理
证明中的归一化常数是
结构推理
双原子分子中两原子间的作用可以用Morse势
（1）
来描写，对于分子内部运动（相对运动）的s态（），试设法解出径向方程，确定能级公式（束缚态）。
结构推理
当势能改变一常量C时,即,粒子的波函数与时间无关部分变否?能量本征值变否?
结构推理
（1）设为幺正算符，对可微，证明可以表示成
（1）
其中B为Hermite算符；（2）设成立，B为Hermite算符，证明满足方程
（2）
进而再证明，如时为幺正算符，则总是幺正算符。
结构推理
通常观察到的原子中Stark效应（均匀电场产生的能级移动）与场强平方成正比。解释为什么如此。但对氢原子某些态Stark效应是场强的线性函数。解释为什么。用微扰计算说明氢原子基态与第一激发态的最低不为零Stark效应。在精确到一个整体常数范围内，波函数为
结构推理
电荷e的谐振子，在时处于基态，时处于弱电场之中(为常数)，试求谐振子处于第一激发态的几率。
结构推理
力常数为、质量为的谐振子基态波函数为
求在经典区域之外找到粒子的概率的表达式。
结构推理
一质量为m的粒子，在一对数势中运动，这势可以写成，请证明：（1）所有的能量本征态都有相同的均方速度，并求出之；（2）任何两个能量态间的能量间隔是与质量m无关的。
结构推理
设粒子势能的极小值是
结构推理
设带电粒子在均匀磁场B及三维各向同性谐振子场中运动，求能谱公式。
结构推理
考虑一个初始处在态上的粒子。我们执行N次关于算符的过滤测量，这里。计算全部测量结果都是+1的概率。当时出现什么？
结构推理
自旋为1的三个矩阵算符满足
及其轮换式。证明，。
结构推理
一体系Hamilton量H与时间无关，而H由非简并本征值以应本征矢，，可观测量A在同一Hilbert空间中，同样地用非简并本征方程来定义。（1）设体系开始处于状态，这时测量，问的期望值为何？这一测量给出A的值为的概率为多少？（2）如果测量值为，并且经过时间t后，再重复测量，问再次测得的概率为多少？
结构推理
一组全同原子，它们有两个态k和j，分别有不简并的能级和，
当它们处于一个壁的温度不随时间改变的盒子中，通过考虑原子在两个态的平衡数量证明
这里A和B是Einstein自发辐射系数和受激辐射系数，而。
结构推理
正负电子偶素的单态衰变成两个光子，他们的偏振方向互相垂直。如下图所示安排实验，检偏器位于光子控测器之前，每个检偏器具有确定的透光方向，且两个检偏器的透光方向互相垂直，而偏振方向与检偏器透光方向相垂直的偏振光将完全被该检偏器所吸收。当观察了许多事件后，两个探测器均有记录的事件数目与仅有一个探测器有记录的事件数目之比是多少？
结构推理
如图给出了在某个三维中心势中运动的无自旋粒子的6个最低能级及其相应的角动量，这一能谱中不存在偶然简并，给出各能级相应径向波函数的节点数目（在节点两边波函数符号不同）。
结构推理
一个某种原子的离子处于自由空间时，其。将该离子嵌入(在处)一个晶体中，其局部环境如下图(a)所示的4个点电荷。应用Wigner-Eckart定理可以证明，这一环境引起的有效微扰Hamilton量可以写成如下形式(这个结论不必证明)。
式中，和分别是轨道角动量算符的x分量和y分量，是个常数。此外，在z方向加上一个磁场，引起另一个微扰
式中，是角动量算符的z分量，是个常数。(1)用轨道角动量的升、降算符和表示微扰Hamilton量。(2)求微扰Hamilton量在由三个态，和构成的基上的矩阵元。
结构推理
，在什么条件下为Hermite算符？
结构推理
(1)写出一维谐振子的Hanulton量及方程．(2)若是一个解，求v并给出能量和期望值， ， ， (3)证明处在单一的一维谐振子势阱中的两个相同粒子基态，既可写为，又可写为
式中，是质量为m的单个粒子基态解．
结构推理
考虑下述粒子数N1的五个量子系综。(1) 由在和中随机分布的粒子所组成；(2) 由在态和中随机分布的粒子所组成；(3) 由在态和中随机分布的粒子所组成；(4) 由在态
的粒子所组成，这里是一个常数分布的随机变数。
试问有可能去设计一些测量来区分粒子是哪组的吗？
结构推理
忽略电子自旋，将氦原子中两个电子相对于核的位置记为，它们的Hamilton量可以写成
(1)证明一个电子在类氢原子基态，另一个在第一激发态时，存在8个是的本
征函数的轨道波函数．(2)用对称性的考虑，证明V在这8个态中的所有矩阵元可以用它们
中的四个来表示（提示用正比于的球谐函数的线性组合也许是有帮助的）．(3)证明如果用的8个本征函数的线性组合作为试探函数，变分原理会给出决定8个激发态能级的行列式方程．用V的四个独立的矩阵元表示出能级分裂．(4)讨论由于Pauli不相容原理，能级的简并情况．
结构推理
有一台中子干涉仪(下图)，其分束器和反射镜是用同一块单晶制成的。(1)改变放在干涉仪的一臂中的薄塑料板的厚度。可以改变两臂的相对位相，于是条纹发生移动，简要定性解释相移的起源。(2)在一臂中垂直于中子束加上一很均匀的常磁场，这时中子所受的磁力可以忽略。选择磁场的强度，使中子的自旋矢量恰好旋转一周，发现两中子束的相对位相改变了半周，即的弧度。用恰当的方程说明为什么是这样的。
结构推理
核的有限大小的效应可能会提高基于点核理论所得到的电子能量。(1)证明若质子被看作一个均匀带电球壳(半径为b)时，由一阶微扰理论可以得到的电子基态能量相对氢原子基态能量改变了一个因子。(2)为什么能量的变化对一个绕铅核转动的介子要大得多？
结构推理
给定系统A的一个混态，证明它能够作为两体系统A和B的Hilbert空间中某个纯态的约化密度矩阵来得到。
结构推理
解说EPR佯谬的物理思想。
结构推理
为的积分核，若：（1）；（2）；（3）。当满足什么条件时，为Hermite算符。
结构推理
求线性谐振子哈密顿量在动量表象中的矩阵元。
结构推理
两个全同Bose子，每个质量为m，在一维谐振子势中运动．它们彼此通过势相互作用，这里是个正参数．计算体系的基态能量．近似到相互作用强度参数的第
一阶．
结构推理
考虑单粒子的薛定谔方程式：
V1，V2为实函数，证明粒子的几率不守恒。求出在空间体积Ω内，粒子几率“丧失”或“增加”的速率。
结构推理
考虑共核分子．利用氮核自旋I=1这个事实推导出以下结果：在氮分子谱中相邻的转动谱线强度之比为2:1.
结构推理
写出动量表象中的薛定谔方程式。
结构推理
粒子在势能为
的场中运动。证明对于能量的状态，其能量由下式决定：
（其中）
结构推理
双原子分子电子基态A和一激发态B的势能如下图所示。每个电子态都有一系列的振动能级，它们用量子数表达。(1)电子态两最低振动能级差分别由和表示。比大还是小？为什么？ (2)一些分子最初在电子态B的最低振动能级通过自发跃迁到电子态A。在这些跃迁中，电子态A的哪些振动能级最易被占据？解释你的理由。
结构推理
在HCl分子中观察到了波数（以作单位）为83.03，103.73，124.30，145.03，
165.51和185.86的吸收线．这些是振动跃迁还是转动跃迁？若是前者，它的特征频率是多
少？若是后者，它所对应的J值是多少？HCl的惯量矩是多少？若是那样的话，估计两核子
的间距．
结构推理
质量为m的非相对论粒子在势内作一维运动，粒子处于束缚态，求值，使得粒子处于的概率为。
结构推理
若自旋效应被忽略，主量子数n=2的氢原子的4个态具有同样能量，证明当静电场加到处于这些态的氢原子上时，结果导至一阶能量为。
结构推理
(1)给出惯量主矩为的对称陀螺的所有能级，(2)一个稍不对称的陀螺没有两个I是精确相等的，但，，。计算和能量到量级。
结构推理
介子原子由核和束缚在核外处于类氢轨道上的介子组成()。由于核电荷分布于半径为R的区域内，相对于点状核，介子原子的能级有一移动。有效Coulomb势近似为
(1)定性阵述介子原子1s、2s、2p、3s、3p、3d能级绝对移动和相对移动。对这些移动的所有差异均给以物理解释。画出这些态的的微扰和未微扰能级图。(2)考虑到核电荷分布非点状这一事实，给出1s态能量一级改变的表示式。(3)假定，是介原子“Bohr半径”，估计2s-2p的能量移动并证明这个移动给出R的一个度量。
有用的信息
结构推理
（1）证明短程散射势外部的散射p波的波函数是
(2)以exp(ikz)代表的入射粒子束被半径为的不可穿入刚性球散射，这里满足在只考虑s、p波的情况卞（近似到)，证明微分散射截面为
结构推理
一粒子在一维势场
中运动，求粒子的能级和对应的波函数。
结构推理
一个处于第一激发态(2p)的氢原子位于一空腔中，当空腔的温度等于多少时，自发跃迁概率和受激跃迁概率相等？
结构推理
有一无自旋的粒子，其波函数为
式中，且K，是实常数。(1)粒子的总角动量是多少？(2)角动量的z分量的期望值是多少？(3)若角动量的z分量被测量，问测得的概率为多少？(4)发现粒子在方向上的立体角内的概率是多少？其中就是通常球坐标中的角度。
你会发现以下写出的头几项球谐函数的表达式是有用的
结构推理
两个在中心场中运动的电子．将电子间的静电作用当作微扰，（1）对于1s，2s组态求一阶能移（将答案用非微扰量和的矩阵元表示）．(2)对于(1)中的态讨论两粒子波函数的对称性．(3)假设在t=0时，一个电子处于1s非微扰态自旋向上，另一电子在2s非微扰态自旋向下．在什么时候态的占据翻转题图？
结构推理
(1)证明宇称算符与轨道角动量算符对易、球谐函数的宇称量子数是多少？(2)对于在态的一维谐振子证明：．
(3)考虑氢分子的转动．它的转动能级是什么？两个核子的全同如何改变能谱？在这些
能级中能发生什么类型的辐射跃迁？记住质子是Fermi子．(4)证明，式中n是
任意方向单位矢量，是Pauli自旋矩阵．
结构推理
设粒子在势场中运动 (1)证明其能量的平均值是: (1)
其中W是能量密度 (2)证明能量守恒公式
(2)
其中 (能流密度)
结构推理
一个非相对论粒子被如下球方势阱散射．
(1)假定轰击能量足够高，用Born近似计算散射截面（不必归一化），并画出角分布的形状，指出角度单位．(2)如何用这个结果来测量R? (3)假定Born近似是有效的，为使散射对于R敏感，能量必须大致要多高？设粒子是质子
结构推理
考虑满足方程的自由实标量场 对应于。(1)写出系统的密度。 (2)用证实满足方程。(3)导出系统的密度。写方程组，并证明它和(2)中导出的方程是一致的。
结构推理
设已知在的共同表象中，算符的矩阵分别为
求它们的本征值和归一化的本征函数。最后将矩阵对角化。
结构推理
验证积分方程有下列解其中A与时间无关。
结构推理
投影算符是一个厄米算符，其中，是任意正交归一的完备本征函数系。
结构推理
假设存在小的宇称破坏力，则氢原子态混入了少量的p波
一级辐射衰变下此态退激成什么态？求出衰变矩阵元．当时怎样？为什么？
结构推理
沿着z轴的均匀磁场可选择规范为
对称规范
不对称规范
证明 (1)A规范下的波函数变换到规范下就是
(2)若是的本征态，则是的本征态
结构推理
（1）试用Fermat最短光程定律导出光的折射定律；（2）光的波动说的拥护者曾经向光的微粒论者提出下列非难：如果认为光是“粒子”，则其运动遵守最小作用量原理，若认为，则，指“粒子”动量，指粒子“速度”。这样将导出下列折射定律，这明显违反了实验事实。即使考虑相对论效应，对于自由粒子，仍然成立，E是粒子能量，从一种介质到另一种介质，E不改变，因此仍然得到。矛盾依然存在，你如何解决这个矛盾？
结构推理
(1)由于超精细作用氢原子的基态发生劈裂标出它的能级图，并从基本原理出发指出哪一个态能量较高．（2）氢分子的基态劈裂成核自旋单态和核自旋三重态，从基本原理出发指出哪一个态的能量较高．
结构推理
证明关于条件概率的Bayes定理
此公式两边等于积概率。
结构推理
什么是德布罗意波？并写出德布罗意波的表达式。
结构推理
考虑一个由N个离子组成的环，每个离子的自旋为，间隔相等，相邻离子受到的作用，式中是第个离子的Pauli自旋算符（任一离子被选为1），J是常数，同时存在一个垂直于环的弱磁场，所以有两个本征函数和，系统的基态相应于所有自旋态都是态，态代表除了第j个离子处在态，其余态都处在态，试证明：（1）
（2）若是H本征值为E的本征态，则有
这里。（3）若，这里为离子间距离，那么
结构推理
压缩态的另外一种形式其中为谐振子基态，为坐标平移算符。（1）求在表象中的形式。（2）证明也是压缩态。（3）证明。
结构推理
(1)描述氢原子中电子质子间超精细相互作用部分的Hamilton量为
式中，是粒子的磁矩，且为粒子的自旋（是Pauli矩阵）．计算氢原子态与态之间的超精细分裂．哪个态能量较低？物理上的解释为什么．(2) 态和,态之间跃迁产生的辐射场的矢势当有一般形式
式中，是沿辐射传播方向的单位矢量，为这个跃迁的矩阵元．明确地证明上式中三个矩阵元是否不为零．跃迁中产生的辐射特性是什么？
结构推理
一个质量为m、电荷为q的粒子被束缚在半径为R的圆周上运动，讨论下述几种情况的能级：(1)粒子的运动是非相对论的；(2)在与圆周垂直的方向上有一个均匀的磁场B。
结构推理
下面是一个关于一维方程本征值的定理。
定理：如果势给出本征值给出本征值，且有处处成立，则有。（1）证明这个定理。（2）考虑势
求这个势所能具有的束缚态数目，假设这个数目，决定N的上界（或下界）。
结构推理
按均匀概率分布制备以下三个态
求此系综组成的两体密度矩阵的本征值。
结构推理
对于幂函数型中心势场试找一个变换，将和的径向方程联系起来，并加以讨论。
结构推理
证明：的氢原子中的电子，在的方向上被发现的几率最大。