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理学
设α为实n维非零列向量，αT表示α的转置．(1)证明：A=E一为对称的正交矩阵；(2)若α=(1，2，一2)T，试求出矩阵A；(3)若β为税维列向量，试证明：Aβ=β一(bc)α，其中，b、c为实常数．
设a0=1，a1=7/2，an+1=-，n≥2，证明：当｜x｜＜1时，幂级数收敛，并求其和函数S(x)．
设变换=0，求常数a．
设(X，Y)服从二维正态分布，其边缘分布为X～N(1，1)，Y～N(2，4)，X，Y的相关系数为ρXY=一0．5，且P(aX+bY≤1)=0．5，则()．
f(x，y)=arctan在(0，1)处的梯度为()．
证明f(x)=sin x-x在(-∞，+∞)上严格单调减少．
设A为n阶矩阵，且A
2
一2A一8E=0．证明：r(4E—A)+r(2e+A)=N．
设有一小山，取它的底面所在的平面为xOy坐标面，其底部所占的区域为D=｜(x，y)｜x
2
+y
2
-xy≤75}，小山的高度函数为h(x，y)=75-x
2
-y
2
+xy。
(Ⅰ)设M(x
0
，y
0
)为区域D上的一点，问h(x，y)在该点沿平面上何方向的方向导数最大?若此方向的方向导数为g(x
0
，y
0
)，写出g(x
0
，y
0
)的表达式；
(Ⅱ)现欲利用此小山开展攀岩活动，为此需要在山脚下寻找一坡度最大的点作为攀登的起点。也就是说，要在D的边界线x
2
+y
2
-xy=75上找出使(Ⅰ)中g(x，y)达到最大值的点。试确定攀登起点的位置。
过球面x
2
＋y
2
＋z
2
＝169上点M(3，4，12)分别作垂直于x轴与y轴的平面，求过这两平面与球面的截线的公共点的两截线的切线方程，并求通过这两条切线的平面方程．
设f(x)在[1，2]上连续，在(1，2)内可导，且f'(x)≠0，证明：存在ξ，η，ζ∈(1，2)，使得．
设a＝(a
1
，a
2
，…a
n
)
T
，a
1
≠0，A＝aa
T
，
(1)证明λ＝0是A的n－1重特征值；
(2)求A的非零特征值及n个线性无关的特征向量．