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理学
求函数f(x，y)=x
2
+2y
2
一x
2
y
2
在区域D={(x，y)｜x
2
+y
2
≤4，y≥0)上的最大值和最小值．
设a1＜a2＜…＜an，且函数f(x)在[a1，an]上n阶可导，c∈[a1，an]且f(a1)＝f(a2)＝…＝f(an)＝0．证明：存在ξ∈(a1，an)，使得
计算下列各题：
设f(x)在[0，a]上一阶连续可导，f(0)=0，令|f'(x)|=M．证明：|∫0af(x)dx|≤a2／2M．
求下列函数在指定点处的导数：(Ⅰ)y=f(x)=arcsinx．，求f'(0)；(Ⅱ)设f(x)=φ(a+bx)一φ(a一bx)，其中φ(x)在x=a处可导，求f'(0)；(Ⅲ)设函数f(x)在x=0处可导，且f'(0)=，对任意的x，有f(3+x)=3f(x)，求f'(3)。
设A是n阶矩阵，ξ
1
，ξ
2
，…，ξ
t
是齐次方程组Aχ＝0的基础解系，若存在η
i
使Aη
i
＝ξ
i
，i＝1，2，…，t，证明向量组ξ
1
，ξ
2
，…，ξ
t
，η
1
，η
2
，…，η
t
线性无关．
计算三重积分I＝(χ＋y＋z)2dV，其中(Ⅰ)Ω{(χ，y，z)｜χ2＋y2＋z2≤4，z≥}；(Ⅱ)Ω{(χ，y，z)｜χ2＋y2＋z2≤4，χ2＋y2＋z2≤4z}．
设A为3阶矩阵，将A的第2列加到第1列得矩阵B，再交换B的第2行与第3行得单位矩阵．记P1=，则A=()
设γ
1
，γ
2
，…，γ
t
和η
a
，η
2
，…η
s
分别是AX=0和BX=0的基础解系．证明：AX=0和BX=0有非零公共解的充要条件是γ
1
，γ
2
，…，γ
t
，η
1
，η
2
，…，η
s
线性相关．
设φ(x)在(0，+∞)有连续导数，φ(π)=1．试确定φ(x)，使积分在x＞0与路径无关，并求当A，B分别为(1，1)，(π，π)时的积分值．
计算曲面积分，其中S是，z=1及z=2所围的封闭曲面的外侧．