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理学
证明对称阵A为正定的充分必要条件是：存在可逆矩阵U，使A＝U
T
U，即A与单位阵E合同．
设f(x)在(a，b)内可导，且f(x)=A．求证：存在ξ∈(a，b)使得f′(ξ)=0．
设三阶实对称矩阵A的特征值λ
1
=1，λ
2
=2，λ
3
=-2，α
1
=(1，-1，1)
T
是A的属于特征值λ
1
的一个特征向量，记B=A
5
-4A
3
+E，其中E为三阶单位矩阵。
(Ⅰ)验证α
1
是矩阵β的特征向量，并求B的全部特征值与特征向量；
(Ⅱ)求矩阵B。
设n阶矩阵A=(α
1
，α
2
，…，α
n
)，B=(β
1
，β
2
，…，β
n
)，AB=(γ
1
，γ
2
，…，γ
n
)，记向量组(I)：α
1
，α
2
，…，α
n
；(Ⅱ)：β
1
，β
2
，…，β
n
；(Ⅲ)：γ
1
，γ
2
，…，γ
s
，若向量组(Ⅲ)线性相关，则( )．
设A为可逆的实对称矩阵．则二次型X
T
AX与X
T
A
－1
X( )．
设f(x)可导，且F(x)=f(x)(1+｜sinx｜)在x=0处可导，则( )．
设f(x)在x=0的邻域内二阶连续可导，=2，求曲线y=f(x)在点(0，f(0))处的曲率．
求函数y=的单调区间与极值，并求该曲线的渐近线．
设函数f(x)在[0，π]上连续，且=0，试证明：在(0，π)内至少存在两个不同的点ξ1，ξ2，使f(ξ1)=f(ξ2)=0．
设f(x)=3x
2
+x
2
｜x｜，则使f
(n)
(0)存在的最高阶数n=