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理学
设f(x)具有一阶连续导数，f(0)＝0，且表达式
[xy(1＋y)一f(x)y]dx＋[f(x)＋x
2
y]dy
为某可微函数u(x，y)的全微分．求f(x)及u(x，y)．
设函数f(χ)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导且f(a)≠f(b)，试证明存在η，ξ∈(a，b)，使得
设函数f(χ)在[a，b]上一阶可导，在(a，b)内二阶可导，且f(a)＝f(b)＝0，f′(a)f′(b)＞0．求证：(Ⅰ)ξ∈(a，b)使得f′(ξ)＝f(ξ)；(Ⅱ)η∈(a，b)使得f〞(η)＝f(η)．
计算I=∮L，其中L是绕原点旋转一周的正向光滑闭曲线．
求
设A，B均为正定矩阵，则( )
求线密度为常数的摆线x=a(t—sint)，y=a(1一cost)(0≤t≤π)的重心．
函数f(x)=的有界区间是()
求级数的和。
设L：y=e—x(x≥0)．(1)求由y=e—x、x轴、y轴及x=a(a＞0)所围成平面区域绕z轴旋转一周而得的旋转体的体积V(a)．(2)设V(c)=，求c．
设x一(a+bcosx)sinx为x→0时x的5阶无穷小，求a，b的值．
设A是n阶矩阵，λ是A的特征值，其对应的特征向量为X，证明：λ
2
是A
2
的特征值，X为特征向量，若A
2
有特征值λ，其对应的特征向量为X，X是否一定为A的特征向量?说明理由．