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工学
问答题考虑常微分方程初值问题记h=(b—a)/n，xi=a+ih，i=0，1，…，n．给定求解上述初值问题的公式yi+1=yi-1+[f(xi+1，yi+1)+4f(xi，yi)+f(xi-1,yi-1)]，求该公式的局部截断误差及阶数．
问答题设初边值问题(C)存在充分光滑的解，其中ψ(0)=ψ(1)=0．取正整数M和K，并记h=1／M，τ=T／K，xi=ih,tk=kτ，．现给出如下差分格式：(D)其中1)将差分格式(D)写成标准的线性方程组Ax=b的形式；2)分析差分格式(D)的截断误差；3)给出差分解的先验估计式；4)令eik=u(xi，tk)-uik，0≤i≤M，0≤k≤K，证明：存在正常数c，使得‖ek‖≤c(τ2+h2)，1≤k≤K，其中‖ek‖为ek=(e0k，e1k，…，eM-1k，eMk)的某种范数．
问答题设f(x)∈C4[a，b]，考虑积分I(f)=∫abf(x)dx1)写出计算积分I(f)的复化Simpson公式Sn(f)．该公式是几阶求积公式?其代数精度是多少?2)已知(A)是一个Gauss求积公式，证明：(B)也是一个Gauss求积公式．
问答题给定下面的初边值问题其中是光滑函数，满足=0．取正整数M，N，记h=1／M，τ=1/N，xi=ih(0≤i≤M)，tk=kτ(0≤k≤N)．设有求解上述问题的差分格式1)写出上述差分格式的截断误差表达式；2)证明：‖uk‖∞≤‖y0‖∞，k=1，2，…，N．
问答题求a和b，使得｜x4-(a+bx)｜取最小值，并求该最小值.
问答题考虑常微分方程初值问题取正整数n，记h=(b-a)／n，xi=a+ih，0≤i≤n．试分析下列求解公式的局部截断误差，并指出其阶数．
问答题设X是一个内积空间，(.,.)为内积，是x的一个n维子空间．f∈x，对，1≤i，j≤n，bi=(f，)，1≤i≤n，矩阵A=[aij]，b=(b1，b2，…，bn)T．1)证明：线性方程组Ax=b存在唯一解；2)如果P满足‖f-p‖=‖f-q‖证明：c1，c2，…，cn是线性方程组Ax=b的解．
问答题1)设A=求cond(A)2；2)设A∈Rn×n非奇异，B∈Rn×n奇异，证明：
问答题设f(x)∈C4[a，b]，记E(f)=Af(x0)+Bf(x1)1)求参数A，B，x0，x1，使求积公式I(f)≈E(f)的代数精度为3；2)取正整数n，记h=(b-a)/n，xi=a+ih(i=0，1，…，n)，试构造求积公式E(f)对应的复化求积公式En(f)3)求极限
问答题给定线性方程组1)分别写出求解上述方程组的Jacobi迭代格式和Gauss-seidel迭代格式；2)分析Gauss-seidel迭代格式的收敛性．
问答题设‖.‖为R
n×n
中的某一范数，A∈R
n×n
，B∈R
n×n
为两个非奇异矩阵，证明：‖A
-1
-B
-1
‖≤‖A
-1
‖.‖B
-1
‖．‖A—B‖．
问答题设x=11．2109，y=20．0911是通过四舍五入得到的近似值，z=xsiny，试分析函数z的绝对误差限、相对误差限和有效数字．
问答题设A=[aij]是n阶非奇异矩阵，且aii≠0，i=1，2，…，n，b=(b1，b2，…，bn)T是n维向量，x=(x1，x2，…，xn)T．1)写出解线性方程组Ax=b的Gauss—Seidel迭代格式；2)如果矩阵A满足证明：Gauss-Seidel迭代收敛．
问答题设n次代数方程xn+a1xn-1+a2xn-2+…+an-1x+an=0有n个实根，其最大实根为x*．任取x0，用Newton迭代法可得迭代序列{xk}k=0∞证明：如果x0＞x*，则有
问答题给定方程COSx—x=0，用Newton迭代法求方程在[0，1]中的根，精确到5位有效数字，并证明对任意初值x
0
∈[0，1]，Newton迭代收敛．
问答题给定椭圆边值问题其中Ω={(x，y)｜0＜0＜1，0＜y＜1)，是Ω的边界．记h=1／m，xi=ih，i=0，1，…，m；yj=jh，j=0，1，…，m．设uij是u(xi，yj)的近似值．1)写出解上述边值问题的五点差分格式及差分格式的截断误差；2)将五点差分格式朋矩阵和向量表示为一个线性方程组，并简述该方程组的求解方法．
问答题考虑常微分方程初值问题取正整数n，记,xi=a+ih，0≤i≤n．分析求解公式yi+1=yi+[5f(xi+1，yi+1)+8f(xi,yi)-f(xi-1,yi-1)]的局部截断误差，并指出该公式是一个几步几阶公式．
问答题设A=[a
ij
]∈R
n×n
，且a
ii
≠0，i=1，2，…，n；b=(b
1
，b
2
，…，b
n
)
T
∈R
n
；x=(x
1
，x
2
，…，x
n
)
T
∈R
n
．
1)写出解线性方程组Ax=b的Gauss-Seidel迭代格式；
2)如果A是对称正定矩阵，证明：Gauss-Seidel迭代格式收敛．
问答题设f(x)∈C
4
[a,b]，I(f)=∫
a
b
f(x)dx．取正整数n，将区间[a，b]作n等分，并记h=(b—a)／n，x
i
=a+ih，i=0，1，…，n．
1)写出计算I(f)的Simpson求积公式S(f)，求出该求积公式的代数精度，并验证之；
2)写出计算I(f)的复化Simpson求积公式S
n
(f)，并指出它是一个几阶公式．
问答题给定线性方程组其中ξ，η，ζ为常数．设有求解上述方程组的迭代格式Bx(k+1)+Cx(k)=b，k=0，1，…，(A)其中问ξ，η，ζ满足什么条件时迭代格式(A)收敛?