已知∑：z=z(x，y)，(x，y)∈D，求证：
设某曲线L的线密度μ=x2+y2+z2，其方程为x=e"cost，y=e"sint，z=，-∞＜t≤0．
设D是由曲线=1(a＞0，b＞0)与x轴，y轴围成的区域，求I=ydxdy．
求柱体x
2
+y
2
≤2x被x
2
+y
2
+z
2
=4所截得部分的体积．
填空题已知曲线L为曲面z=与x2+y2=1的交线，则∮Lx2y2z2ds=________．
求曲面积分I=xz2dydz－sinxdxdy，其中S为曲线(1≤z≤2)绕z轴旋转而成的旋转面，其法向量与z轴正向的夹角为锐角．
判断下列曲线积分在指定区域D是否与路径无关，为什么?(Ⅰ)∫Lf(x2+y2)(xdx+ydy)，其中f(u)为连续函数，D：全平面．(Ⅱ)，D={(x，y)｜全平面除去－∞＜x≤0，y=0}．
设L为圆周x+y=2正向一周，计算曲线积分I=ydx+｜y一x3｜xdy．
设曲线积分∫L[f(x)-ex]sinydx-f(x)cosydy与路径无关，其中f(x)具有一阶连续导数，且f(0)=0，则f(x)等于()
问答题交换二次积分的积分顺序，并算出这个积分的值．
填空题设Ω={(x，y，z)｜x2+y2+z2≤1}，则=________．
设f(s)在(－∞，+∞)内有连续的导数，计算其中L为从点a(3，)到B(1，2)的直线段．
填空题设u=x
2
+3y+yz，则div(graau)=__________．
填空题已知F=x
3
i+y
3
j+z
3
k，则在点(1，0，-1)处的divF为_________
在过点O(0，0)和A(π，0)的曲线族y=asin x(a＞0)中，求一条曲线L，使沿该曲线从O到A的积分∫
L
(1+y
3
)dx+(2x+y)dy的值最小．
问答题计算,其中Ω是由椭球面的上半部分与平面z=0所围成的区域．
已知由线积分+[f(x)一x2]dy与路径无关，其中f(x)有连续一阶导数，f(0)=1，则∫(0,0)(1,1)yf(x)dx+[f(x)一x2]dy等于()
填空题设∑是锥面z=+2ydzdx+3(z一1)dxdy=________．
计算∫г(x2+y2+z2)ds，其中
I=(z+1)dxdy+xydzdx，其中∑1为圆柱面x2+y2=a2上x≥0，0≤z≤1部分，法向量与x轴正向成锐角，∑2为Oxy平面上半圆域x2+y2≤a2，x≥0部分，法向量与z轴正向相反．