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设α i =(a i ,b i ,c i ) T ,i=1,2,3,则平面上三条直线a 1 x+a 2 y+a 3 =0,b 1 x+b 2 y+b 3 =0,c 1 x+c 2 y+c 3 =0 交于一点的充分必要条件是
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设n(n≥3)阶矩阵A=,如伴随矩阵A*的秩r(A*)=1,则a为
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填空题已知α 1 =(a,a,a) T ,α 2 =(一a,a,b) T ,α 3 =(一a,一a,一b) T 线性相关,则a,b满足关系式__________.
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用Schmidt正交化方法将下列向量组规范正交化: α 1 =(1,1,1) T ,α 2 =(一1,0,一1) T ,α 3 =(一1,2,3) T .
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已知α1,α2,…,αs是互不相同的数,n维向量αi=(1,αi,)T(i=1,2,…,s),求向量组α1,α2,…,αs的秩.
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已知α 1 ,α 2 ,α 3 线性无关,证明2α 1 +3α 2 ,α 2 一α 3 ,α 1 +α 2 +α 3 线性无关.
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填空题已知α 1 ,α 2 ,α 3 线性相关,α 1 +α 2 ,aα 2 -α 3 ,α 1 -α 2 +α 3 线性相关,则a=__________.
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已知α 1 =(1,1,1,1) T ,α 2 =(1,1,一1,一1) T ,α 3 =(1,一1,1,一1) T ,α 4 =(1,一1,一1,1) T 是R4的一组基,求β=(1,2,1,1)在这组基下的坐标.
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设n维列向量α 1 ,α 2 ,…,α n-1 ,β线性无关,且与非零向量β 1 ,β 2 都正交.证明β 1 ,β 2 线性相关,α 1 ,α 2 ,…,α n-1 ,β 1 线性无关.
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若α i1 ,α i2 ,…,α ir 与α j1 ,α j2 ,…,α jt 都是α 1 ,α 2 ,…,α s 的极大线性无关组,则r=t.
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填空题若β=(1,2,t) T 可由α 1 =(2,1,1) T ,α 2 =(-1,2,7) T ,α 3 =(1,-1,-4) T 线性表出,则t=__________;
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已知α 1 =(1,2,0,一1) T ,α 2 =(0,1,一1,0) T ,α 3 =(2,1,3,一2) T ,试把其扩充为R 4 的一组规范正交基.
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填空题已知A=且AXA*=B,秩r(x)=2则a=________.
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已知A是m×n矩阵,B是n×p矩阵,如AB=C,且r(C)=m,证明A的行向量线性无关.
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设A是m×n矩阵,B是n×s矩阵,证明r(AB)≤r(B).
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判断下列3维向量的集合是不是R3的子空间,如是子空间,则求其维数与一组基:(Ⅰ)W1={(x,y,x)|x>0};(Ⅱ)W2={x,y,z)|x=0};(Ⅲ)W3={(x,y,z)|x+y-2z=0};(Ⅳ)W4:{(x,y,z)|3x-2y+z=1};(Ⅴ)W5={(x,y,z|}.
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已知R 3 的两组基 α 1 =(1,0,一1) T ,α 2 =(2,1,1) T , α 3 =(1,1,1) T 与β 1 =(0,1,1) T , β 2 =(一1,1,0) T ,β 3 =(1,2,1) T . (Ⅰ)求由基α 1 ,α 2 ,α 3 到基β 1 ,β 2 ,β 3 的过渡矩阵; (Ⅱ)求γ=(9,6,5) T 在这两组基下的坐标; (Ⅲ)求向量δ,使它在这两组基下有相同的坐标.
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设A是m×n矩阵.B是n×p矩阵.如AB=0.则r(A)+r(B)≤n.
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设α1,α2,α3是3维向量空间R3的一组基,则由基α1,到基α1+α2,α2+α3,α3+α1的过渡矩阵为
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设A为3阶矩阵,α 1 ,α 2 为A的分别属于特征值一1,1的特征向量,向量α 3 满足Aα 3 =α 2 +α 3 ,证明α 1 ,α 2 ,α 3 线性无关.
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