设α
i
=(a
i
,b
i
,c
i
)
T
,i=1,2,3,则平面上三条直线a
1
x+a
2
y+a
3
=0,b
1
x+b
2
y+b
3
=0,c
1
x+c
2
y+c
3
=0 交于一点的充分必要条件是
设n(n≥3)阶矩阵A=,如伴随矩阵A*的秩r(A*)=1,则a为
填空题已知α
1
=(a,a,a)
T
,α
2
=(一a,a,b)
T
,α
3
=(一a,一a,一b)
T
线性相关,则a,b满足关系式__________.
用Schmidt正交化方法将下列向量组规范正交化:
α
1
=(1,1,1)
T
,α
2
=(一1,0,一1)
T
,α
3
=(一1,2,3)
T
.
已知α1,α2,…,αs是互不相同的数,n维向量αi=(1,αi,)T(i=1,2,…,s),求向量组α1,α2,…,αs的秩.
已知α
1
,α
2
,α
3
线性无关,证明2α
1
+3α
2
,α
2
一α
3
,α
1
+α
2
+α
3
线性无关.
填空题已知α
1
,α
2
,α
3
线性相关,α
1
+α
2
,aα
2
-α
3
,α
1
-α
2
+α
3
线性相关,则a=__________.
已知α
1
=(1,1,1,1)
T
,α
2
=(1,1,一1,一1)
T
,α
3
=(1,一1,1,一1)
T
,α
4
=(1,一1,一1,1)
T
是R4的一组基,求β=(1,2,1,1)在这组基下的坐标.
设n维列向量α
1
,α
2
,…,α
n-1
,β线性无关,且与非零向量β
1
,β
2
都正交.证明β
1
,β
2
线性相关,α
1
,α
2
,…,α
n-1
,β
1
线性无关.
若α
i1
,α
i2
,…,α
ir
与α
j1
,α
j2
,…,α
jt
都是α
1
,α
2
,…,α
s
的极大线性无关组,则r=t.
填空题若β=(1,2,t)
T
可由α
1
=(2,1,1)
T
,α
2
=(-1,2,7)
T
,α
3
=(1,-1,-4)
T
线性表出,则t=__________;
已知α
1
=(1,2,0,一1)
T
,α
2
=(0,1,一1,0)
T
,α
3
=(2,1,3,一2)
T
,试把其扩充为R
4
的一组规范正交基.
填空题已知A=且AXA*=B,秩r(x)=2则a=________.
已知A是m×n矩阵,B是n×p矩阵,如AB=C,且r(C)=m,证明A的行向量线性无关.
设A是m×n矩阵,B是n×s矩阵,证明r(AB)≤r(B).
判断下列3维向量的集合是不是R3的子空间,如是子空间,则求其维数与一组基:(Ⅰ)W1={(x,y,x)|x>0};(Ⅱ)W2={x,y,z)|x=0};(Ⅲ)W3={(x,y,z)|x+y-2z=0};(Ⅳ)W4:{(x,y,z)|3x-2y+z=1};(Ⅴ)W5={(x,y,z|}.
已知R
3
的两组基
α
1
=(1,0,一1)
T
,α
2
=(2,1,1)
T
, α
3
=(1,1,1)
T
与β
1
=(0,1,1)
T
, β
2
=(一1,1,0)
T
,β
3
=(1,2,1)
T
.
(Ⅰ)求由基α
1
,α
2
,α
3
到基β
1
,β
2
,β
3
的过渡矩阵;
(Ⅱ)求γ=(9,6,5)
T
在这两组基下的坐标;
(Ⅲ)求向量δ,使它在这两组基下有相同的坐标.
设A是m×n矩阵.B是n×p矩阵.如AB=0.则r(A)+r(B)≤n.
设α1,α2,α3是3维向量空间R3的一组基,则由基α1,到基α1+α2,α2+α3,α3+α1的过渡矩阵为
设A为3阶矩阵,α
1
,α
2
为A的分别属于特征值一1,1的特征向量,向量α
3
满足Aα
3
=α
2
+α
3
,证明α
1
,α
2
,α
3
线性无关.