已知α
1
，α
2
，α
3
线性无关，证明2α
1
+3α
2
，α
2
-α
3
，α
1
+α
2
+α
3
线性无关．
已知A=，r(A*)=1，则
设向量组Ⅰ：α
1
，α
2
，…，α
r
可由向量组Ⅱ：β
1
，β
2
，…，β
s
线性表出，则下列命题正确的是
若α
1
，α
2
，α
3
线性无关，那么下列线性相关的向量组是
已知A=，如果秩r(A)=2，则a必为
设A为3阶矩阵，α
1
，α
2
为A的分别属于特征值-1，1的特征向量，向量α满足Aα
3
=α
2
+α
3
，证明α
1
，α
2
，α
3
线性无关．
已知α
1
，α
2
，…，α
s
是互不相同的数，n维向量α
i
=(1，α
i
，α
i
2
，…，α
i
n-1
)
T
(i=1，2，…，s)，求向量组α
1
，α
2
，…，α
s
的秩．
设A是n阶矩阵，α
1
，α
2
，α
3
是n维列向量，且α
1
≠0，Aα
1
=kα
1
，Aα
2
=lα
1
+kα
2
，Aα
3
=lα
2
+lα
3
，l≠0，证明α
1
，α
2
，α
3
线性无关．
已知α
1
=(1，1，1，0)
T
，α
2
=(0，1，2，1)
T
，α
3
=(3，1，-2，1)
T
线性无关，则将其正交化，有
若α
i1
，α
i2
，…，α
ir
与α
j1
，α
j2
，…，α
jt
都是α
1
，α
2
，…，α
s
的极大线性无关组，则r=t．
已知α
1
=(1， -1，1)
T
，α
2
=(1，t，-1)
T
，α
3
=(t，1，2)
T
，β=(4，t
2
，-4)
T
，若β可以由α
1
，α
2
，α
3
线性表出且表示法不唯一，求t及β的表达式．
设αi=(ai1，ai2，…，ain)T(i=1，2，…，r；r＜n)是n维实向量，且α1，α2，…，αr线性无关，已知β=(b1，b2，…，bn)T是线性方程组的非零解向量．试判断向量组α1，α2，…，αr，β的线性相关性．
设A是n阶非零矩阵，A
*
是A的伴随矩阵，A
T
是A的转置矩阵，如果A
T
=A
*
，证明任一n维列向量均可由矩阵A的列向量线性表出．
下列向量组α
1
，α
2
，…，α
3
中，线性无关的是
已知线性方程组的通解是(2，1，0，3)T+k(1，-1，2，0)T，如令αi=(ai，bi，ci，di)T，i=1，2，…，5．试问：(Ⅰ)α1能否由α2，α3，α4线性表出?(Ⅱ)α4能否由α1，α2，α3线性表出?并说明理由．
已知向量组β1=有相同的秩，且β3可由α1，α2，α3线性表出，求a，b的值．
设α，β为3维列向量，矩阵A=αα
T
+ββ
T
，其中α
T
，β
T
分别是α，β的转置，证明：
(Ⅰ)秩r(A)≤2；
(Ⅱ)若α，β线性相关，则秩r(A)＜2．
求向量组
α
1
=(1，1，4，2)
T
，α
2
=(1，-1，-2，4)
T
，α
3
=(-3，2，3，-11)
T
，α
4
=(1，3，10，0)
T
的一个极大线性无关组．
若向量组α
1
，α
2
，α
3
线性相关，向量组α
2
，α
3
，α
4
线性无关，试问α
4
能否由α
1
，α
2
，α
3
线性表出?并说明理由．
设A是n阶矩阵，A
2
=E，证明：r(A+E)+r(A-E)=n．