设f(x)在[0，+∞)上连续，且f(0)＞0，设f(x)在[0，x]上的平均值等于f(0)与f(x)的几何平均数，求f(x)。
(2011年试题，一)设数列{an}单调减少，无界，则幂级数的收敛域为()．
求微分方程y
""
(3y
"2
—x)=y"满足初值条件y(1)=y"(1)=1的特解．
求方程的通解．
设函数y(x)(x≥0)二阶可导且y"(x)＞0，y(0)=1．过曲线y=y(x)上．任意一点P(x，y)作该曲线的切线及到z轴的垂线，上述两直线与z轴所围成的三角形的面积记为S
1
，区间[0，x]上以y=y(x)为曲边的曲边梯形面积记为S
2
，并设2S
1
-S
2
恒为1，求此曲线y=y(x)的方程．
求方程的通解．
求解下列方程：
(Ⅰ)求方程xy″=y′lny′的通解；
(Ⅱ)求yy″=2(y
′2
－y′)满足初始条件y(0)=1，y′(0)=2的特解．
微分方程的通解是()
(2007年试题，20)设幂级数anxn在(一∞，+∞)内收敛，其和函数y(x)满足y""一2xy"一4y=0。y(0)=0，y"(0)=1
设曲线L的极坐标方程为r=r(θ)，M(r，θ)为L上任一点，M
0
(2，0)为L上一定点．若极径OM
0
，OM与曲线L所围成的曲边扇形的面积值等于L上M
0
，M两点间弧长值的一半，求曲线L的极坐标方程．
求微分方程x(y
2
－1)dx+y(x
2
－1)dy=0的通解．
设曲线L位于Oxy平面的第一象限内，过L上任意一点M处的切线与y轴总相交，把交点记作A，则总有长度，若L过点，求L的方程．
求方程的通解以及满足y(0)=2的特解．
求微分方程y""(3y"
2
-x)=y"满足初值条件y(1)=y"(1)=1的特解．
利用变换y=f(e
x
)求微分方程y""-(2e
x
+1)y"+e
2x
y=e
3x
的通解．
设y=f(x)是微分方程y""一2y"+4y=0的一个解，若f(x
0
)＞0，且f"(x
0
)=0，则函数f(x)在点x
0
( )
(1999年试题，五)设函数y(x)(x≥0)二阶可导且y
"
(x)>0，y(0)=1．过曲线y=y(x)上任意一点P(x，y)作该曲线的切线及x轴的垂线，上述两直线与x轴所围成的三角形的面积记为S
1
,区间[0，x]上以y=y(x)为曲线的曲边梯形面积记为S
2
，并设2S
1
一．S
2
恒为1，求曲线y=y(x)的方程．
从船上向海中沉放某种探测仪器，按探测要求，需确定仪器的下沉深度y(从海平面算起)与下沉速度v之间的关系．设仪器在重力作用下，从海平面由静止开始铅直下沉，在下沉过程中还要受到阻力和浮力的作用．设仪器的质量为m，体积为V，海水的比重为ρ，仪器所受阻力与下沉速度成正比．比例系数为K(K＞0)．试建立y与v所满足的微分方程，并求出函数关系y=y(v)．
方程y′sinx=ylny满足条件y()=e的特解是
某种飞机在机场降落时，为了减少滑行距离，在触地的瞬间，飞机尾部张开减速伞，以增大阻力，使飞机迅速减速并停下．
现有一质量为9000kg的飞机，着陆时的水平速度为700km／h，经测试，减速伞打开后，飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比(比例系数为k=6．0×10
6
)，问从着陆点算起，飞机滑行的最长距离是多少?(注：kg表示千克，km／h表示千米／小时)