用泰勒公式求下列极限：
求微分方程的通解．
已知y
1
=xe
x
+e
2x
，y
2
=xe
x
一e
-x
，y
3
=xe
x
+e
2x
+e
-x
为某二阶线性常系数非齐次微分方程的特解，求此微分方程。
求方程y″+2my′+n2y=0的通解；又设y=y(x)是满足y(0)=a，y′(0)=b的特解，求y(x)dx，其中m＞n＞0，a，b为常数．
设
微分方程y"+2y'+y=0的通解是( )
设函数f(t)在[0，+∞)上连续，且满足方程f(t)=e4πt2+dxdy，试求f(t)．
(1997年试题，三)在某一人群中推广新技术是通过其中已掌握新技术的人进行的．设该人群的总人数为N,在t=0时刻已掌握新技术的人数为x
0
，在任意时刻t已掌握新技术的人数为x(t)(将x(t)视为连续可微变量)，其变化率与已掌握新技术人数之积成正比，比例常数k>0，求x(t)．
设f(x)连续，且满足∫
0
x
f(t)dt=x+∫
0
x
tf(x一t)dt，求f(x)。
求y
"2
一yy
""
=1的通解．
求方程=(1-y2)tanx的通解以及满足y(0)=2的特解．
设有二阶线性微分方程(I)作自变量替换x=，把方程变换成y关于t的微分方程．(Ⅱ)求原方程的通解．
(2001年试题，五)设试将f(x)展开成x的幂级数，并求级数的和．
微分方程y""一4y"+4y=x
2
+8e
2x
的一个特解应具有形式(a，b，c，d为常数) ( )
设函数f(u)具有二阶连续导数，而z=f(exsiny)满足=e2xz，求f(u)。
要设计一形状为旋转体水泥桥墩，桥墩高为h，上底面直径为2a，要求桥墩在任意水平截面上所受上部桥墩的平均压强为常数p．设水泥的比重为ρ，试求桥墩的形状．
解下列微分方程：(Ⅰ)y″－7y′+12y=x满足初始条件y(0)=的特解；(Ⅱ)y″+a2y=8cosbx的通解，其中a＞0，b＞0为常数；(Ⅲ)+y″+y′+y=0的通解．
设函数y(x)(x≥0)二阶可导，且y'(x)＞0，y(0)=1。过曲线y=y(x)上任一点P(x，y)作该曲线的切线及x轴的垂线，上述两直线与x轴所围成的三角形面积记为S
1
，区间[0，x]上以y=y(x)为曲边的曲边梯形面积记为S
2
，且2S
1
一S
2
=1，求此曲线y=y(x)的方程。
求证：曲率半径为常数口的曲线是圆．
(2003年试题，四)将函数展开成x的幂级数，并求级数的和．