从船上向海中沉放某种探测仪器，按探测要求，需确定仪器的下沉深度y(从海平面算起)与下沉速度ν之间的函数关系。设仪器在重力作用下，从海平面由静止开始铅直下沉，在下沉过程中还受到阻力和浮力的作用。设仪器的质量为m，体积为B，海水比重为ρ，仪器所受的阻力与下沉速度成正比，比例系数为k(k＞0)。试建立y与ν所满足的微分方程，并求出函数关系式y=y(ν)。
求解下列微分方程：(1)(x3+xy2)dx+(x2y+y3)dy=0；(4)(5x4+3xy2一y3)dx+(3x2y一3xy2+y2)dy=0．
如图1—5一1，C1和C2分别是和y=ex的图象，过点(0，1)的曲线C3是一单调增函数的图象。过C2上任一点M(x，y)分别作垂直于x轴和y轴的直线lx和ly。记C1，C2与lx所围图形的面积为S1(x)；C2，C3与ly所围图形的面积为S2(y)。如果总有S1(x)=S2(y)，求曲线C3的方程x=φ(y)。
求微分方程的通解．
设L是一条平面曲线，其上任意一点m(x，y)(x＞0)到坐标原点的距离恒等于该点处的切线在y轴上的截距，且L经过点
(1990年)求微分方程χlnχdy＋(y－lnχ)dχ＝0满足条件y｜
χ＝e
＝1的特解．
设f(x)=ex-(x-t)f(t)dt，其中f(x)连续，求f(x)．
求下列函数f(x)在x=0处带拉格朗日余项的n阶泰勒公式：(Ⅰ)f(x)=(Ⅱ)f(x)=exsinx．
设半径为R=2m的半球形水池盛满了水，记水的密度为ρ，求：（1)将水全部从上口抽尽需作的功;（2）当作功为一半时抽去水的百分比.
(2002年)求微分方程χdy＋(χ－2y)dχ＝0的一个解y＝y(χ)，使得由曲线y＝y(χ)与直线χ＝1，χ＝2以及χ轴所围成平面图形绕χ轴旋转一周的旋转体体积最小．
利用代换将方程y""cosx一2y"sinx+3ycosx=ex化简，并求出原方程的通解。
微分方程y
''
+y=x
2
+1+sinx的特解形式可设为( )
求下列函数的带皮亚诺余项至括号内所示阶数的麦克劳林公式：(Ⅰ)f(x)=excosx(x3)；(Ⅱ)f(x)=(x3)；(Ⅲ)f(x)=，其中a＜0(x2)．
求微分方程的通解．
设f(χ)在(－∞，＋∞)上有定义，且对任意实数a，b，都有等式f(a＋b)＝e
a
f(b)＋e
b
f(a)成立，又f′(0)＝1，求f(χ)．