设有一容器由平面z＝0，z＝1及介于它们之间的曲面S所围成．过z轴上点(0，0，z)(0≤z≤1)作垂直于z轴的平面与该立体相截得水平截面D(z)，它是半径r(z)＝的圆面．若以每秒v0体积单位的均匀速度往该容器注水，并假设开始时容器是空的．(Ⅰ)写出注水过程中t时刻水面高度z＝z(t)与相应的水体积V＝V(t)之间的关系式，并证明水面高度z与时间t的函数关系：[z3＋(z－1)3＋1]＝；(Ⅱ)求水表面上升速度最大时的水面高度；(Ⅲ)求灌满容器所需时间．
已知一条抛物线通过x轴上两点A(1，0)，8(3，0)，求证：两坐标轴与该抛物线所围成的面积等于x轴与该抛物线所围成的面积．
计算定积分I=∫0π(a＞0，b＞0)．
φ(χ)＝∫
sinχ
cos2χ
ln(1＋t
2
)，求φ′(χ)．
设A是n阶矩阵，证明
求微分方程y’+ycosx=(lnx)e
-sinx
的通解．
设A为3阶矩阵，α
1
，α
2
，α
3
是线性的无关3维列向量组，满足
Aα
1
＝α
1
＋2α
2
＋2α
3
，Aα
2
＝2α
1
＋α
2
＋2α
3
，Aα
3
＝2α
1
＋2α
2
＋α
3
．
(1)求A的特征值．
(2)判断A是否相似于对角矩阵?
设f(x)为连续的奇函数，且=0，则()．
设f(x)=，求f(n)(x)．
若f(x)∈C[1，+∞)，在[1，+∞)内可导，f(1)＜0，f'(x)≥k＞0，则在(1，+∞)内f(x)=0( )．
(1990年)设f(χ)＝∫1χdt，其中χ＞0，求f(χ)＋f()．
设t＞0，则当t→0时，f(t)=[1－cos(x2+y2)]dxdy是t的n阶无穷小量，则n为()．