证明：(1)若随机变量X只取一个值a，则X与任一随机变量Y独立；(2)若随机变量X与自己独立，则存在C，使得P(X=C)=1．
设总体X的概率密度为其中参数λ(λ＞0)未知，X1，X2，…Xn是来自总体X的简单随机样本．(I)求参数λ的矩估计量；(Ⅱ)求参数λ的最大似然估计量．
设总体X在区间(0，θ)内服从均匀分布，X1，X2，X3是来自总体的简单随机样本．证明：都是参数θ的无偏估计量，试比较其有效性．
设总体X的概率密度为其中θ为未知参数且大于零，X1，X2，…，Xn为来自总体X的简单随机样本。（Ⅰ）求θ的矩估计量；（Ⅱ）求θ的最大似然估计量。
已知随机变量X服从参数为1的指数分布，Y服从标准正态分布，X与Y独立，现对X进行n次独立重复观察，用Z表示观察值大于2的次数，求T=Y+Z的分布函数F
T
(t)．
设二维随机变量(X，Y)的概率密度为求：(1)方差D(XY)；(2)协方差Cov(3X+Y，X－2Y)．
设X1，X2，…，Xn为总体X的一个样本，设EX=μ，DX=σ2，试确定常数C，使为μ2的无偏估计．
设A，B是任两个随机事件，下列事件中与A＋B＝B不等价的是()．
已知随机变量X与Y的相关系数大于零，则( )
设总体X～N(0，σ2)，X1，X2，…，Xn为来自总体X的简单随机样本，所服从的分布．
设X1，X2，X3，X4是取自总体N(0，1)的简单随机样本，已知+a(X1X2+X3X4)，a＞1服从χ2(n)，则n+a=()
设总体X，Y相互独立且都服从N(μ，σ2)分布，(X1，X2，…，Xm)与(Y1，Y2，…，Yn)分别为来自总体X，Y的简单随机样本．证明：S2=为参数σ2的无偏估计量．
设X为一个总体且E(X)=k，D(X)=1，X1，X2，…，Xn为来自总体的简单随机样本，令，问n多大时才能使
设随机变量X服从正态分布N（μ
1
，σ
1
2
），y服从正态分布N（μ
2
，σ
2
），且P{|X—μ
1
|＜ 1} ＞ P{|Y—μ
2
|＜ 1}。
设随机变量X的概率密度为求Y=ex的概率密度fY(y)．
设X
1
，X
2
，…，X
10
是来自正态总体X～N(0，2
2
)的简单随机样本，求常数a，b，c，d，使
Q=aX
2
+b(X
2
+X
3
)
2
+c(X
4
+X
5
+X
6
)
2
+e(X
7
+X
8
+X
9
+X
10
)
2
服从χ
2
分布，并求自由度m．
设二维随机变量(X，Y)的联合概率密度为f(x，y)=，一∞＜x，y＜+∞，记Z=X2+Y2．求：
甲袋中有2个白球，乙袋中有2个黑球，每次从各袋中分别任取一球交换放入对方袋中，共交换3次。记X为经过3次交换后甲袋中的白球数，求X的分布列。
设总体X～U[0，θ]，其中θ＞0，求θ的极大似然估计量，判断其是否是θ的无偏估计量．
一批矿砂的4个样品中镍含量测定为(％)：3．25，3．26，3．24，3．25．设测定值总体服从正态分布，问在α＝0．01下能否接受假设：这批矿砂镍含量的均值是3．26．(t
0．995
(3)＝5．8409，下侧分位数)