设二次型f（x1，x2，x3）=xTAx在正交变换x=Qy下的标准形为y12+y22，且Q的第三列为（Ⅰ）求A；（Ⅱ）证明A+E为正定矩阵，其中E为三阶单位矩阵。
就a的不同取值情况，确定方程lnx=x
a
(a＞0)实根的个数．
生产某种产品需要投甲、乙两种原料，x
1
和x
2
(单位：吨)分别是它们各自的投入量，则该产品的产出量为Q=2x
α
x
β
(单位：吨)，其中常数α＞0，β＞0且α+β=1．如果两种原料的价格分别为p
1
与p
2
(单位：万元／吨)．试问，当投入两种原料的总费用为P(单位：万元)时，两种原料各投入多少可使该产品的产出量最大?
计算二重积分(x2+4x+y2)dxdy，其中D是曲线(x2+y2)2=a2(x2一y2)围成的区域．
设α
1
=（1，2，3，1）
T
，α
2
=（3，4，7，—1）
T
，α
3
=（2，6，a，6）
T
，α
4
=（0，1，3，a）
T
，那么a=8是α
1
，α
2
，α
3
，α
4
线性相关的（ ）
下列各式中正确的是（）
设常数a＞2，则级数
设D由抛物线y=x2，y=4x2及直线y=1所围成．用先x后y的顺序将I=f(x，y)dxdy化成累次积分．
某试验性生产线每年一月份进行熟练工与非熟练工的人数统计，然后将熟练工支援其他生产部门，其缺额由招收新的非熟练工补齐，新、老非熟练工经过培训及实践至年终考核有成为熟练工．设第n年一月份统计的熟练工和非熟练工所占百分比分别为xn和yn，记成αn=(Ⅰ)求αn+1与αn的关系式，并写成矩阵形式：αn+1=Aαn；(Ⅱ)求矩阵A的特征值与特征向量；(Ⅲ)若α0=，求Anα0．
设f(x)连续，且f(x)＝2∫
0
x
f(x－t)dt＋e
x
，求f(x)．
计算下列二重积分：(Ⅰ)｜x2+y2一1｜dσ，其中D={(x，y)｜0≤x≤l，0≤y≤}；(Ⅱ)｜sin(x一y)｜dσ，其中D={(x，y)｜0≤x≤y≤2π}．
设A=，求An
设A为n阶矩阵，α
0
≠0，满足Aα
0
=0，向量组α
1
，α
2
满足Aα
1
=α
0
，A
2
α
2
=α
0
．证明α
0
，α
1
，α
2
线性无关．
设un≠0，(n=1，2，…)，且则极数